Theorem onssneli 2349

Description: An ordering law for ordinals.

Hypothesis

Ref	Expression
on.1	|- A e. On

Assertion

Ref	Expression
onssneli	|- (A (_ B -> -. B e. A)

Proof of Theorem onssneli

Step	Hyp	Ref	Expression
1		on.1	. . . . 5 |- A e. On
2	1	onel 2346	. . . 4 |- (B e. A -> B e. On)
3		eloni 2209	. . . 4 |- (B e. On -> Ord B)
4		ordeirr 2217	. . . 4 |- (Ord B -> -. B e. B)
5	2, 3, 4	3syl 21	. . 3 |- (B e. A -> -. B e. B)
6		ssel 1502	. . . 4 |- (A (_ B -> (B e. A -> B e. B))
7	6	com12 13	. . 3 |- (B e. A -> (A (_ B -> B e. B))
8	5, 7	mtod 95	. 2 |- (B e. A -> -. A (_ B)
9	8	con2i 89	1 |- (A (_ B -> -. B e. A)

Syntax hints:  -. wn 1   -> wi 2   e. wcel 1092   (_ wss 1487  Ord word 2198  Oncon0 2199

This theorem is referenced by:  limsuclem 2360

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203

metamath.org