Theorem onun 2358

Description: The union of two ordinal numbers is an ordinal number.

Hypotheses

Ref	Expression
on.1	|- A e. On
on.2	|- B e. On

Assertion

Ref	Expression
onun	|- (A u. B) e. On

Proof of Theorem onun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		on.2	. . . 4 |- B e. On
2	1	onord 2343	. . 3 |- Ord B
3		on.1	. . . 4 |- A e. On
4	3	onord 2343	. . 3 |- Ord A
5		ordtri2or 2328	. . 3 |- ((Ord B /\ Ord A) -> (B e. A \/ A (_ B))
6	2, 4, 5	mp2an 520	. 2 |- (B e. A \/ A (_ B)
7	3	onelun 2352	. . . 4 |- (B e. A -> (A u. B) = A)
8		eleq1 1149	. . . . 5 |- ((A u. B) = A -> ((A u. B) e. On <-> A e. On))
9	3, 8	mpbiri 169	. . . 4 |- ((A u. B) = A -> (A u. B) e. On)
10	7, 9	syl 12	. . 3 |- (B e. A -> (A u. B) e. On)
11		ssequn1 1628	. . . 4 |- (A (_ B <-> (A u. B) = B)
12		eleq1 1149	. . . . 5 |- ((A u. B) = B -> ((A u. B) e. On <-> B e. On))
13	1, 12	mpbiri 169	. . . 4 |- ((A u. B) = B -> (A u. B) e. On)
14	11, 13	sylbi 174	. . 3 |- (A (_ B -> (A u. B) e. On)
15	10, 14	jaoi 275	. 2 |- ((B e. A \/ A (_ B) -> (A u. B) e. On)
16	6, 15	ax-mp 6	1 |- (A u. B) e. On

Syntax hints:   \/ wo 195   = wceq 1091   e. wcel 1092   u. cun 1485   (_ wss 1487  Ord word 2198  Oncon0 2199

This theorem is referenced by:  rankun 3535

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203

metamath.org