Theorem opabid 2099

Description: The law of concretion. Special case of Theorem 9.5 of [Quine] p. 61.

Assertion

Ref	Expression
opabid	|- (<.x, y>. e. {<.x, y>. | ph} <-> ph)

Distinct variable group(s):   x,y

Proof of Theorem opabid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clelab 1187	. 2 |- (<.x, y>. e. {z | E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ph)} <-> E.z(z = <.x, y>. /\ E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ph)))
2		df-opab 2098	. . 3 |- {<.x, y>. | ph} = {z | E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ph)}
3	2	eleq2i 1153	. 2 |- (<.x, y>. e. {<.x, y>. | ph} <-> <.x, y>. e. {z | E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ph)})
4		19.41v 963	. . . . . 6 |- (E.z((z = <.x, y>. /\ z = <.w, v>.) /\ [v / y][w / x]ph) <-> (E.z(z = <.x, y>. /\ z = <.w, v>.) /\ [v / y][w / x]ph))
5		anass 336	. . . . . . 7 |- (((z = <.x, y>. /\ z = <.w, v>.) /\ [v / y][w / x]ph) <-> (z = <.x, y>. /\ (z = <.w, v>. /\ [v / y][w / x]ph)))
6	5	biex 733	. . . . . 6 |- (E.z((z = <.x, y>. /\ z = <.w, v>.) /\ [v / y][w / x]ph) <-> E.z(z = <.x, y>. /\ (z = <.w, v>. /\ [v / y][w / x]ph)))
7		cleqcom 1103	. . . . . . . 8 |- (<.x, y>. = <.w, v>. <-> <.w, v>. = <.x, y>.)
8		opex 1893	. . . . . . . . 9 |- <.x, y>. e. V
9	8	eqvinc 1407	. . . . . . . 8 |- (<.x, y>. = <.w, v>. <-> E.z(z = <.x, y>. /\ z = <.w, v>.))
10		visset 1350	. . . . . . . . 9 |- w e. V
11		visset 1350	. . . . . . . . 9 |- v e. V
12		visset 1350	. . . . . . . . 9 |- y e. V
13	10, 11, 12	opth 1898	. . . . . . . 8 |- (<.w, v>. = <.x, y>. <-> (w = x /\ v = y))
14	7, 9, 13	3bitr3 156	. . . . . . 7 |- (E.z(z = <.x, y>. /\ z = <.w, v>.) <-> (w = x /\ v = y))
15	14	anbi1i 368	. . . . . 6 |- ((E.z(z = <.x, y>. /\ z = <.w, v>.) /\ [v / y][w / x]ph) <-> ((w = x /\ v = y) /\ [v / y][w / x]ph))
16	4, 6, 15	3bitr3r 157	. . . . 5 |- (((w = x /\ v = y) /\ [v / y][w / x]ph) <-> E.z(z = <.x, y>. /\ (z = <.w, v>. /\ [v / y][w / x]ph)))
17	16	bi2ex 734	. . . 4 |- (E.wE.v((w = x /\ v = y) /\ [v / y][w / x]ph) <-> E.wE.vE.z(z = <.x, y>. /\ (z = <.w, v>. /\ [v / y][w / x]ph)))
18		sbel2x 995	. . . 4 |- (ph <-> E.wE.v((w = x /\ v = y) /\ [v / y][w / x]ph))
19		excom 728	. . . . 5 |- (E.zE.wE.v(z = <.x, y>. /\ (z = <.w, v>. /\ [v / y][w / x]ph)) <-> E.wE.zE.v(z = <.x, y>. /\ (z = <.w, v>. /\ [v / y][w / x]ph)))
20		exdistr2 969	. . . . 5 |- (E.zE.wE.v(z = <.x, y>. /\ (z = <.w, v>. /\ [v / y][w / x]ph)) <-> E.z(z = <.x, y>. /\ E.wE.v(z = <.w, v>. /\ [v / y][w / x]ph)))
21		excom 728	. . . . . 6 |- (E.zE.v(z = <.x, y>. /\ (z = <.w, v>. /\ [v / y][w / x]ph)) <-> E.vE.z(z = <.x, y>. /\ (z = <.w, v>. /\ [v / y][w / x]ph)))
22	21	biex 733	. . . . 5 |- (E.wE.zE.v(z = <.x, y>. /\ (z = <.w, v>. /\ [v / y][w / x]ph)) <-> E.wE.vE.z(z = <.x, y>. /\ (z = <.w, v>. /\ [v / y][w / x]ph)))
23	19, 20, 22	3bitr3 156	. . . 4 |- (E.z(z = <.x, y>. /\ E.wE.v(z = <.w, v>. /\ [v / y][w / x]ph)) <-> E.wE.vE.z(z = <.x, y>. /\ (z = <.w, v>. /\ [v / y][w / x]ph)))
24	17, 18, 23	3bitr4 158	. . 3 |- (ph <-> E.z(z = <.x, y>. /\ E.wE.v(z = <.w, v>. /\ [v / y][w / x]ph)))
25		ax-17 925	. . . . . . 7 |- (E.y(z = <.x, y>. /\ ph) -> A.wE.y(z = <.x, y>. /\ ph))
26		ax-17 925	. . . . . . . . 9 |- (z = <.w, y>. -> A.x z = <.w, y>.)
27		hbs1 986	. . . . . . . . 9 |- ([w / x]ph -> A.x[w / x]ph)
28	26, 27	hban 704	. . . . . . . 8 |- ((z = <.w, y>. /\ [w / x]ph) -> A.x(z = <.w, y>. /\ [w / x]ph))
29	28	hbex 701	. . . . . . 7 |- (E.y(z = <.w, y>. /\ [w / x]ph) -> A.xE.y(z = <.w, y>. /\ [w / x]ph))
30		opeq1 1876	. . . . . . . . . 10 |- (x = w -> <.x, y>. = <.w, y>.)
31	30	cleq2d 1112	. . . . . . . . 9 |- (x = w -> (z = <.x, y>. <-> z = <.w, y>.))
32		sbequ12 865	. . . . . . . . 9 |- (x = w -> (ph <-> [w / x]ph))
33	31, 32	anbi12d 476	. . . . . . . 8 |- (x = w -> ((z = <.x, y>. /\ ph) <-> (z = <.w, y>. /\ [w / x]ph)))
34	33	biexdv 936	. . . . . . 7 |- (x = w -> (E.y(z = <.x, y>. /\ ph) <-> E.y(z = <.w, y>. /\ [w / x]ph)))
35	25, 29, 34	cbvex 849	. . . . . 6 |- (E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ph) <-> E.wE.y(z = <.w, y>. /\ [w / x]ph))
36		ax-17 925	. . . . . . . 8 |- ((z = <.w, y>. /\ [w / x]ph) -> A.v(z = <.w, y>. /\ [w / x]ph))
37		ax-17 925	. . . . . . . . 9 |- (z = <.w, v>. -> A.y z = <.w, v>.)
38		hbs1 986	. . . . . . . . 9 |- ([v / y][w / x]ph -> A.y[v / y][w / x]ph)
39	37, 38	hban 704	. . . . . . . 8 |- ((z = <.w, v>. /\ [v / y][w / x]ph) -> A.y(z = <.w, v>. /\ [v / y][w / x]ph))
40		opeq2 1877	. . . . . . . . . 10 |- (y = v -> <.w, y>. = <.w, v>.)
41	40	cleq2d 1112	. . . . . . . . 9 |- (y = v -> (z = <.w, y>. <-> z = <.w, v>.))
42		sbequ12 865	. . . . . . . . 9 |- (y = v -> ([w / x]ph <-> [v / y][w / x]ph))
43	41, 42	anbi12d 476	. . . . . . . 8 |- (y = v -> ((z = <.w, y>. /\ [w / x]ph) <-> (z = <.w, v>. /\ [v / y][w / x]ph)))
44	36, 39, 43	cbvex 849	. . . . . . 7 |- (E.y(z = <.w, y>. /\ [w / x]ph) <-> E.v(z = <.w, v>. /\ [v / y][w / x]ph))
45	44	biex 733	. . . . . 6 |- (E.wE.y(z = <.w, y>. /\ [w / x]ph) <-> E.wE.v(z = <.w, v>. /\ [v / y][w / x]ph))
46	35, 45	bitr 151	. . . . 5 |- (E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ph) <-> E.wE.v(z = <.w, v>. /\ [v / y][w / x]ph))
47	46	anbi2i 367	. . . 4 |- ((z = <.x, y>. /\ E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ph)) <-> (z = <.x, y>. /\ E.wE.v(z = <.w, v>. /\ [v / y][w / x]ph)))
48	47	biex 733	. . 3 |- (E.z(z = <.x, y>. /\ E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ph)) <-> E.z(z = <.x, y>. /\ E.wE.v(z = <.w, v>. /\ [v / y][w / x]ph)))
49	24, 48	bitr4 154	. 2 |- (ph <-> E.z(z = <.x, y>. /\ E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ph)))
50	1, 3, 49	3bitr4 158	1 |- (<.x, y>. e. {<.x, y>. | ph} <-> ph)

Syntax hints:   <-> wb 127   /\ wa 196  E.wex 678   = weq 797  [wsb 852  {cab 1090   = wceq 1091   e. wcel 1092  <.cop 1810  {copab 2055

This theorem is referenced by:  opabsb 2114  opelopabg 2115  dmopab