Theorem opabssxp 2468

Description: An abstraction relation is a subset of a related cross product.

Assertion

Ref	Expression
opabssxp	|- {<.x, y>. | ((x e. A /\ y e. B) /\ ph)} (_ (A X. B)

Distinct variable group(s):   x,y,A   x,B,y

Proof of Theorem opabssxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pm3.26 256	. . 3 |- (((x e. A /\ y e. B) /\ ph) -> (x e. A /\ y e. B))
2	1	ssopab2i 2120	. 2 |- {<.x, y>. | ((x e. A /\ y e. B) /\ ph)} (_ {<.x, y>. | (x e. A /\ y e. B)}
3		df-xp 2424	. 2 |- (A X. B) = {<.x, y>. | (x e. A /\ y e. B)}
4	2, 3	sseqtr4 1533	1 |- {<.x, y>. | ((x e. A /\ y e. B) /\ ph)} (_ (A X. B)

Syntax hints:   /\ wa 196   e. wcel 1092   (_ wss 1487  {copab 2055   X. cxp 2408

This theorem is referenced by:  dmoprabss 3032  ecopoprdm 3245  ecopoprsym 3246  ecopoprtrn 3247  enqex 3842  ltrelpq 3845  ltrelpr 3895  enrex 3972  ltrelsr 3974  ltrelre 4046

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-opab 2098  df-xp 2424

metamath.org