Theorem opelcog 2511

Description: Ordered pair membership in a composition.

Assertion

Ref	Expression
opelcog	|- ((A e. R /\ B e. S) -> (<.A, B>. e. (C o. D) <-> E.x(<.A, x>. e. D /\ <.x, B>. e. C)))

Distinct variable group(s):   x,A   x,B   x,C   x,D

Proof of Theorem opelcog

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opeq1 1876	. . . . 5 |- (y = A -> <.y, z>. = <.A, z>.)
2	1	eleq1d 1155	. . . 4 |- (y = A -> (<.y, z>. e. (C o. D) <-> <.A, z>. e. (C o. D)))
3		breq1 2065	. . . . . 6 |- (y = A -> (yDx <-> ADx))
4	3	anbi1d 469	. . . . 5 |- (y = A -> ((yDx /\ xCz) <-> (ADx /\ xCz)))
5	4	biexdv 936	. . . 4 |- (y = A -> (E.x(yDx /\ xCz) <-> E.x(ADx /\ xCz)))
6	2, 5	bibi12d 477	. . 3 |- (y = A -> ((<.y, z>. e. (C o. D) <-> E.x(yDx /\ xCz)) <-> (<.A, z>. e. (C o. D) <-> E.x(ADx /\ xCz))))
7		opeq2 1877	. . . . 5 |- (z = B -> <.A, z>. = <.A, B>.)
8	7	eleq1d 1155	. . . 4 |- (z = B -> (<.A, z>. e. (C o. D) <-> <.A, B>. e. (C o. D)))
9		breq2 2066	. . . . . 6 |- (z = B -> (xCz <-> xCB))
10	9	anbi2d 468	. . . . 5 |- (z = B -> ((ADx /\ xCz) <-> (ADx /\ xCB)))
11	10	biexdv 936	. . . 4 |- (z = B -> (E.x(ADx /\ xCz) <-> E.x(ADx /\ xCB)))
12	8, 11	bibi12d 477	. . 3 |- (z = B -> ((<.A, z>. e. (C o. D) <-> E.x(ADx /\ xCz)) <-> (<.A, B>. e. (C o. D) <-> E.x(ADx /\ xCB))))
13		visset 1350	. . . 4 |- y e. V
14		visset 1350	. . . 4 |- z e. V
15	13, 14	opelco 2509	. . 3 |- (<.y, z>. e. (C o. D) <-> E.x(yDx /\ xCz))
16	6, 12, 15	vtocl2g 1386	. 2 |- ((A e. R /\ B e. S) -> (<.A, B>. e. (C o. D) <-> E.x(ADx /\ xCB)))
17		df-br 2063	. . . 4 |- (ADx <-> <.A, x>. e. D)
18		df-br 2063	. . . 4 |- (xCB <-> <.x, B>. e. C)
19	17, 18	anbi12i 369	. . 3 |- ((ADx /\ xCB) <-> (<.A, x>. e. D /\ <.x, B>. e. C))
20	19	biex 733	. 2 |- (E.x(ADx /\ xCB) <-> E.x(<.A, x>. e. D /\ <.x, B>. e. C))
21	16, 20	syl6bb 414	1 |- ((A e. R /\ B e. S) -> (<.A, B>. e. (C o. D) <-> E.x(<.A, x>. e. D /\ <.x, B>. e. C)))

Syntax hints:   -> wi 2   <-> wb 127   /\ wa 196  E.wex 678   = wceq 1091   e. wcel 1092  <.cop 1810   class class class wbr 2054   o. ccom 2414

This theorem is referenced by:  fcoi1 2765  fcoi2 2766  dmfco 2864  fvco 2865

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-br 2063  df-opab 2098  df-co 2427

metamath.org