Theorem opelxpi 2455

Description: Ordered pair membership in a cross product (implication).

Assertion

Ref	Expression
opelxpi	|- ((A e. C /\ B e. D) -> <.A, B>. e. (C X. D))

Proof of Theorem opelxpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxpg 2454	. . 3 |- (B e. D -> (<.A, B>. e. (C X. D) <-> (A e. C /\ B e. D)))
2	1	biimprd 136	. 2 |- (B e. D -> ((A e. C /\ B e. D) -> <.A, B>. e. (C X. D)))
3	2	anabsi7 379	1 |- ((A e. C /\ B e. D) -> <.A, B>. e. (C X. D))

Syntax hints:   -> wi 2   /\ wa 196   e. wcel 1092  <.cop 1810   X. cxp 2408

This theorem is referenced by:  brinxp 2466  opbrop 2472  relsn 2485  oprabval3 3052  ecopqsi 3230  brecop 3242  eceqopreq 3249  th3q 3253  addpiord 3806  mulpiord 3807  enqeceq 3841  1q 3851  addclpq 3852  mulclpq 3854  enreceq 3971  0r 3983  1r 3984  m1r 3985  addclsr 3986  mulclsr 3987  axaddcl 4066  axmulcl 4068  axnegex 4078  leltt 4278  ruclem13 4897

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-opab 2098  df-xp 2424

metamath.org