Theorem opprc1b 1906

Description: A property of an ordered pair of proper classes (due to our particular definition of ordered pair).

Assertion

Ref	Expression
opprc1b	|- (-. A e. V <-> (/) e. <.A, B>.)

Proof of Theorem opprc1b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 1745	. . . 4 |- (/) e. V
2	1	pri1 1841	. . 3 |- (/) e. {(/), {B}}
3		opprc1 1905	. . . 4 |- (-. A e. V -> <.A, B>. = {(/), {B}})
4	3	eleq2d 1156	. . 3 |- (-. A e. V -> ((/) e. <.A, B>. <-> (/) e. {(/), {B}}))
5	2, 4	mpbiri 169	. 2 |- (-. A e. V -> (/) e. <.A, B>.)
6		opeq1 1876	. . . . . 6 |- (x = A -> <.x, B>. = <.A, B>.)
7	6	eleq2d 1156	. . . . 5 |- (x = A -> ((/) e. <.x, B>. <-> (/) e. <.A, B>.))
8	7	negbid 463	. . . 4 |- (x = A -> (-. (/) e. <.x, B>. <-> -. (/) e. <.A, B>.))
9		visset 1350	. . . . . . . 8 |- x e. V
10	9	snnz 1846	. . . . . . 7 |- -. {x} = (/)
11		cleqcom 1103	. . . . . . 7 |- ({x} = (/) <-> (/) = {x})
12	10, 11	mtbi 166	. . . . . 6 |- -. (/) = {x}
13	9	prnz 1847	. . . . . . 7 |- -. {x, B} = (/)
14		cleqcom 1103	. . . . . . 7 |- ({x, B} = (/) <-> (/) = {x, B})
15	13, 14	mtbi 166	. . . . . 6 |- -. (/) = {x, B}
16	12, 15	pm3.2ni 440	. . . . 5 |- -. ((/) = {x} \/ (/) = {x, B})
17	1	elop 1894	. . . . 5 |- ((/) e. <.x, B>. <-> ((/) = {x} \/ (/) = {x, B}))
18	16, 17	mtbir 167	. . . 4 |- -. (/) e. <.x, B>.
19	8, 18	vtoclg 1383	. . 3 |- (A e. V -> -. (/) e. <.A, B>.)
20	19	con2i 89	. 2 |- ((/) e. <.A, B>. -> -. A e. V)
21	5, 20	impbi 139	1 |- (-. A e. V <-> (/) e. <.A, B>.)

Syntax hints:  -. wn 1   <-> wb 127   \/ wo 195   = wceq 1091   e. wcel 1092  Vcvv 1348  (/)c0 1707  {csn 1808  {cpr 1809  <.cop 1810

This theorem is referenced by:  opprc3 1908  opth2 1909  opelxpex 2445  onxpdisj 2476

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-nul 1708  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815

metamath.org