Theorem oprssdm 3056

Description: Domain of closure of an operation.

Hypotheses

Ref	Expression
oprssdm.1	|- -. (/) e. S
oprssdm.2	|- ((x e. S /\ y e. S) -> (xFy) e. S)

Assertion

Ref	Expression
oprssdm	|- (S X. S) (_ dom F

Distinct variable group(s):   x,y,S   x,F,y

Proof of Theorem oprssdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relxp 2486	. 2 |- Rel (S X. S)
2		visset 1350	. . . 4 |- y e. V
3	2	opelxp 2452	. . 3 |- (<.x, y>. e. (S X. S) <-> (x e. S /\ y e. S))
4		ndmfv 2848	. . . . 5 |- (-. <.x, y>. e. dom F -> (F` <.x, y>.) = (/))
5		df-opr 3003	. . . . . . 7 |- (xFy) = (F` <.x, y>.)
6	5	cleq1i 1108	. . . . . 6 |- ((xFy) = (/) <-> (F` <.x, y>.) = (/))
7		oprssdm.1	. . . . . . . 8 |- -. (/) e. S
8		eleq1 1149	. . . . . . . 8 |- ((xFy) = (/) -> ((xFy) e. S <-> (/) e. S))
9	7, 8	mtbiri 539	. . . . . . 7 |- ((xFy) = (/) -> -. (xFy) e. S)
10		oprssdm.2	. . . . . . 7 |- ((x e. S /\ y e. S) -> (xFy) e. S)
11	9, 10	nsyl 102	. . . . . 6 |- ((xFy) = (/) -> -. (x e. S /\ y e. S))
12	6, 11	sylbir 176	. . . . 5 |- ((F` <.x, y>.) = (/) -> -. (x e. S /\ y e. S))
13	4, 12	syl 12	. . . 4 |- (-. <.x, y>. e. dom F -> -. (x e. S /\ y e. S))
14	13	a3i 69	. . 3 |- ((x e. S /\ y e. S) -> <.x, y>. e. dom F)
15	3, 14	sylbi 174	. 2 |- (<.x, y>. e. (S X. S) -> <.x, y>. e. dom F)
16	1, 15	relssi 2481	1 |- (S X. S) (_ dom F

Syntax hints:  -. wn 1   -> wi 2   /\ wa 196   = wceq 1091   e. wcel 1092   (_ wss 1487  (/)c0 1707  <.cop 1810   X. cxp 2408  dom cdm 2410  ` cfv 2422  (class class class)co 3001

This theorem is referenced by:  dmaddpq 3853  dmmulpq 3855  dmaddsr 3988  dmmulsr 3989

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fv 2438  df-opr 3003

metamath.org