Theorem optocl 2469

Description: Implicit substitution of class for ordered pair.

Hypotheses

Ref	Expression
optocl.1	|- D = (B X. C)
optocl.2	|- (<.x, y>. = A -> (ph <-> ps))
optocl.3	|- ((x e. B /\ y e. C) -> ph)

Assertion

Ref	Expression
optocl	|- (A e. D -> ps)

Distinct variable group(s):   x,y,A   x,B,y   x,C,y   ps,x,y

Proof of Theorem optocl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		optocl.1	. . 3 |- D = (B X. C)
2	1	eleq2i 1153	. 2 |- (A e. D <-> A e. (B X. C))
3		elxp3 2460	. . 3 |- (A e. (B X. C) <-> E.xE.y(<.x, y>. = A /\ <.x, y>. e. (B X. C)))
4		optocl.2	. . . . . 6 |- (<.x, y>. = A -> (ph <-> ps))
5		visset 1350	. . . . . . . 8 |- y e. V
6	5	opelxp 2452	. . . . . . 7 |- (<.x, y>. e. (B X. C) <-> (x e. B /\ y e. C))
7		optocl.3	. . . . . . 7 |- ((x e. B /\ y e. C) -> ph)
8	6, 7	sylbi 174	. . . . . 6 |- (<.x, y>. e. (B X. C) -> ph)
9	4, 8	syl5bi 183	. . . . 5 |- (<.x, y>. = A -> (<.x, y>. e. (B X. C) -> ps))
10	9	imp 277	. . . 4 |- ((<.x, y>. = A /\ <.x, y>. e. (B X. C)) -> ps)
11	10	19.23aivv 953	. . 3 |- (E.xE.y(<.x, y>. = A /\ <.x, y>. e. (B X. C)) -> ps)
12	3, 11	sylbi 174	. 2 |- (A e. (B X. C) -> ps)
13	2, 12	sylbi 174	1 |- (A e. D -> ps)

Syntax hints:   -> wi 2   <-> wb 127   /\ wa 196  E.wex 678   = wceq 1091   e. wcel 1092  <.cop 1810   X. cxp 2408

This theorem is referenced by:  2optocl 2470  3optocl 2471  ecoptocl 3239  ax0id 4076  ax1id 4077  axnegex 4078  axrecex 4079  axcnre 4087

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-opab 2098  df-xp 2424

metamath.org