Theorem ordelord 2221

Description: An element of an ordinal class is ordinal. Proposition 7.6 of [TakeutiZaring] p. 36.

Assertion

Ref	Expression
ordelord	|- ((Ord A /\ B e. A) -> Ord B)

Proof of Theorem ordelord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 1149	. . . . 5 |- (x = B -> (x e. A <-> B e. A))
2	1	anbi2d 468	. . . 4 |- (x = B -> ((Ord A /\ x e. A) <-> (Ord A /\ B e. A)))
3		ordeq 2206	. . . 4 |- (x = B -> (Ord x <-> Ord B))
4	2, 3	imbi12d 474	. . 3 |- (x = B -> (((Ord A /\ x e. A) -> Ord x) <-> ((Ord A /\ B e. A) -> Ord B)))
5		wetrep 2194	. . . . . . . . . . 11 |- ((E We A /\ (z e. A /\ y e. A /\ x e. A)) -> ((z e. y /\ y e. x) -> z e. x))
6		ordwe 2212	. . . . . . . . . . 11 |- (Ord A -> E We A)
7	5, 6	sylan 343	. . . . . . . . . 10 |- ((Ord A /\ (z e. A /\ y e. A /\ x e. A)) -> ((z e. y /\ y e. x) -> z e. x))
8		pm3.26 256	. . . . . . . . . . 11 |- ((Ord A /\ x e. A) -> Ord A)
9	8	adantr 306	. . . . . . . . . 10 |- (((Ord A /\ x e. A) /\ (z e. y /\ y e. x)) -> Ord A)
10		ordtr 2213	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (Ord A -> Tr A)
11		trel3 2049	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (Tr A -> ((z e. y /\ y e. x /\ x e. A) -> z e. A))
12	10, 11	syl 12	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (Ord A -> ((z e. y /\ y e. x /\ x e. A) -> z e. A))
13		3anrot 586	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((x e. A /\ z e. y /\ y e. x) <-> (z e. y /\ y e. x /\ x e. A))
14		3anass 585	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((x e. A /\ z e. y /\ y e. x) <-> (x e. A /\ (z e. y /\ y e. x)))
15	13, 14	bitr3 153	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((z e. y /\ y e. x /\ x e. A) <-> (x e. A /\ (z e. y /\ y e. x)))
16	12, 15	syl5ibr 182	. . . . . . . . . . . . 13 |- (Ord A -> ((x e. A /\ (z e. y /\ y e. x)) -> z e. A))
17	16	exp3a 292	. . . . . . . . . . . 12 |- (Ord A -> (x e. A -> ((z e. y /\ y e. x) -> z e. A)))
18	17	imp31 280	. . . . . . . . . . 11 |- (((Ord A /\ x e. A) /\ (z e. y /\ y e. x)) -> z e. A)
19		trel 2048	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (Tr A -> ((y e. x /\ x e. A) -> y e. A))
20	10, 19	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (Ord A -> ((y e. x /\ x e. A) -> y e. A))
21	20	exp3a 292	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (Ord A -> (y e. x -> (x e. A -> y e. A)))
22	21	com23 32	. . . . . . . . . . . . 13 |- (Ord A -> (x e. A -> (y e. x -> y e. A)))
23	22	imp31 280	. . . . . . . . . . . 12 |- (((Ord A /\ x e. A) /\ y e. x) -> y e. A)
24	23	adantrl 311	. . . . . . . . . . 11 |- (((Ord A /\ x e. A) /\ (z e. y /\ y e. x)) -> y e. A)
25		pm3.27 260	. . . . . . . . . . . 12 |- ((Ord A /\ x e. A) -> x e. A)
26	25	adantr 306	. . . . . . . . . . 11 |- (((Ord A /\ x e. A) /\ (z e. y /\ y e. x)) -> x e. A)
27	18, 24, 26	3jca 604	. . . . . . . . . 10 |- (((Ord A /\ x e. A) /\ (z e. y /\ y e. x)) -> (z e. A /\ y e. A /\ x e. A))
28	7, 9, 27	sylanc 361	. . . . . . . . 9 |- (((Ord A /\ x e. A) /\ (z e. y /\ y e. x)) -> ((z e. y /\ y e. x) -> z e. x))
29	28	exp 291	. . . . . . . 8 |- ((Ord A /\ x e. A) -> ((z e. y /\ y e. x) -> ((z e. y /\ y e. x) -> z e. x)))
30	29	pm2.43d 59	. . . . . . 7 |- ((Ord A /\ x e. A) -> ((z e. y /\ y e. x) -> z e. x))
31	30	19.21aivv 944	. . . . . 6 |- ((Ord A /\ x e. A) -> A.zA.y((z e. y /\ y e. x) -> z e. x))
32		dftr2 2043	. . . . . 6 |- (Tr x <-> A.zA.y((z e. y /\ y e. x) -> z e. x))
33	31, 32	sylibr 175	. . . . 5 |- ((Ord A /\ x e. A) -> Tr x)
34		trss 2050	. . . . . . . 8 |- (Tr A -> (x e. A -> x (_ A))
35	10, 34	syl 12	. . . . . . 7 |- (Ord A -> (x e. A -> x (_ A))
36		wess 2188	. . . . . . . . 9 |- (x (_ A -> (E We A -> E We x))
37	36	com12 13	. . . . . . . 8 |- (E We A -> (x (_ A -> E We x))
38	6, 37	syl 12	. . . . . . 7 |- (Ord A -> (x (_ A -> E We x))
39	35, 38	syld 27	. . . . . 6 |- (Ord A -> (x e. A -> E We x))
40	39	imp 277	. . . . 5 |- ((Ord A /\ x e. A) -> E We x)
41	33, 40	jca 236	. . . 4 |- ((Ord A /\ x e. A) -> (Tr x /\ E We x))
42		df-ord 2202	. . . 4 |- (Ord x <-> (Tr x /\ E We x))
43	41, 42	sylibr 175	. . 3 |- ((Ord A /\ x e. A) -> Ord x)
44	4, 43	vtoclg 1383	. 2 |- (B e. A -> ((Ord A /\ B e. A) -> Ord B))
45	44	anabsi7 379	1 |- ((Ord A /\ B e. A) -> Ord B)

Syntax hints:   -> wi 2   /\ wa 196   /\ w3a 581  A.wal 672   e. wel 803   = wceq 1091   e. wcel 1092   (_ wss 1487  Tr wtr 2041  Ecep 2056   We wwe 2062  Ord word 2198

This theorem is referenced by:  ordelon 2222  ordon 2238  ssorduni 2249  ordtr2 2257  ordsuc 2318  ordsucss 2320  ordsucelsuc 2324  limsssuc 2362  ordom 2382  rdglim2 2987

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202

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