Theorem ordin 2228

Description: Proposition 7.9 of [TakeutiZaring] p. 37.

Assertion

Ref	Expression
ordin	|- ((Ord A /\ Ord B) -> Ord (A i^i B))

Proof of Theorem ordin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inss2 1658	. . . 4 |- (A i^i B) (_ B
2		trssord 2216	. . . 4 |- ((Tr (A i^i B) /\ (A i^i B) (_ B /\ Ord B) -> Ord (A i^i B))
3	1, 2	mp3an2 640	. . 3 |- ((Tr (A i^i B) /\ Ord B) -> Ord (A i^i B))
4		trin 2051	. . . 4 |- ((Tr A /\ Tr B) -> Tr (A i^i B))
5		ordtr 2213	. . . 4 |- (Ord A -> Tr A)
6		ordtr 2213	. . . 4 |- (Ord B -> Tr B)
7	4, 5, 6	syl2an 349	. . 3 |- ((Ord A /\ Ord B) -> Tr (A i^i B))
8	3, 7	sylan 343	. 2 |- (((Ord A /\ Ord B) /\ Ord B) -> Ord (A i^i B))
9	8	anabss3 382	1 |- ((Ord A /\ Ord B) -> Ord (A i^i B))

Syntax hints:   -> wi 2   /\ wa 196   i^i cin 1486   (_ wss 1487  Tr wtr 2041  Ord word 2198

This theorem is referenced by:  onin 2229  ordtri3or 2230

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-tr 2042  df-br 2063  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202

metamath.org