Theorem ordom 2382

Description: Omega is ordinal. Theorem 7.32 of [TakeutiZaring] p. 43.

Assertion

Ref	Expression
ordom	|- Ord om

Proof of Theorem ordom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dftr2 2043	. . 3 |- (Tr om <-> A.yA.x((y e. x /\ x e. om) -> y e. om))
2		ordelord 2221	. . . . . . . 8 |- ((Ord x /\ y e. x) -> Ord y)
3		nnord 2381	. . . . . . . 8 |- (x e. om -> Ord x)
4	2, 3	sylan 343	. . . . . . 7 |- ((x e. om /\ y e. x) -> Ord y)
5	4	ancoms 334	. . . . . 6 |- ((y e. x /\ x e. om) -> Ord y)
6		trel 2048	. . . . . . . . . . . . 13 |- (Tr z -> ((y e. x /\ x e. z) -> y e. z))
7	6	exp3a 292	. . . . . . . . . . . 12 |- (Tr z -> (y e. x -> (x e. z -> y e. z)))
8	7	com12 13	. . . . . . . . . . 11 |- (y e. x -> (Tr z -> (x e. z -> y e. z)))
9		limord 2283	. . . . . . . . . . . 12 |- (Lim z -> Ord z)
10		ordtr 2213	. . . . . . . . . . . 12 |- (Ord z -> Tr z)
11	9, 10	syl 12	. . . . . . . . . . 11 |- (Lim z -> Tr z)
12	8, 11	syl5 22	. . . . . . . . . 10 |- (y e. x -> (Lim z -> (x e. z -> y e. z)))
13	12	a2d 15	. . . . . . . . 9 |- (y e. x -> ((Lim z -> x e. z) -> (Lim z -> y e. z)))
14	13	19.20dv 946	. . . . . . . 8 |- (y e. x -> (A.z(Lim z -> x e. z) -> A.z(Lim z -> y e. z)))
15		visset 1350	. . . . . . . . . 10 |- x e. V
16	15	elom 2375	. . . . . . . . 9 |- (x e. om <-> (Ord x /\ A.z(Lim z -> x e. z)))
17	16	pm3.27bd 263	. . . . . . . 8 |- (x e. om -> A.z(Lim z -> x e. z))
18	14, 17	syl5 22	. . . . . . 7 |- (y e. x -> (x e. om -> A.z(Lim z -> y e. z)))
19	18	imp 277	. . . . . 6 |- ((y e. x /\ x e. om) -> A.z(Lim z -> y e. z))
20	5, 19	jca 236	. . . . 5 |- ((y e. x /\ x e. om) -> (Ord y /\ A.z(Lim z -> y e. z)))
21		visset 1350	. . . . . 6 |- y e. V
22	21	elom 2375	. . . . 5 |- (y e. om <-> (Ord y /\ A.z(Lim z -> y e. z)))
23	20, 22	sylibr 175	. . . 4 |- ((y e. x /\ x e. om) -> y e. om)
24	23	ax-gen 677	. . 3 |- A.x((y e. x /\ x e. om) -> y e. om)
25	1, 24	mpgbir 686	. 2 |- Tr om
26		omsson 2377	. 2 |- om (_ On
27		ordon 2238	. 2 |- Ord On
28		trssord 2216	. 2 |- ((Tr om /\ om (_ On /\ Ord On) -> Ord om)
29	25, 26, 27, 28	mp3an 642	1 |- Ord om

Syntax hints:   -> wi 2   /\ wa 196  A.wal 672   e. wel 803   e. wcel 1092   (_ wss 1487  Tr wtr 2041  Ord word 2198  Oncon0 2199  Lim wlim 2200  omcom 2372

This theorem is referenced by:  elnn 2383  omon 2384  limom 2387  peano5 2394  ssnlim 2407  nnarcl 3174  onomeneq 3414  ominf 3423  omsdomnn 3424  alephgeom 3687  iscard3 3693

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-om 2373

metamath.org