Theorem ordpipq 3850

Description: Ordering of positive fractions in terms of positive integers.

Hypotheses

Ref	Expression
ordpipq.1	|- A e. V
ordpipq.2	|- B e. V
ordpipq.3	|- C e. V
ordpipq.4	|- D e. V

Assertion

Ref	Expression
ordpipq	|- ([<.A, B>.] ~Q <Q [<.C, D>.] ~Q <-> (A .N D) <N (B .N C))

Proof of Theorem ordpipq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enqex 3842	. 2 |- ~Q e. V
2		ordpipq.2	. 2 |- B e. V
3		ordpipq.3	. 2 |- C e. V
4		ordpipq.4	. 2 |- D e. V
5		enqer 3840	. 2 |- Er ~Q
6		dmenq 3839	. 2 |- dom ~Q = (N. X. N.)
7		df-nq 3832	. 2 |- Q. = ((N. X. N.)/. ~Q )
8		ltrelpq 3845	. 2 |- <Q (_ (Q. X. Q.)
9		ltrelpi 3811	. 2 |- <N (_ (N. X. N.)
10		0npi 3804	. 2 |- -. (/) e. N.
11		dmmulpi 3813	. 2 |- dom .N = (N. X. N.)
12		df-ltq 3836	. . 3 |- <Q = {<.x, y>. | ((x e. Q. /\ y e. Q.) /\ E.zE.wE.vE.u((x = [<.z, w>.] ~Q /\ y = [<.v, u>.] ~Q ) /\ (z .N u) <N (w .N v)))}
13		enqeceq 3841	. . . . . 6 |- (((z e. N. /\ w e. N.) /\ (A e. N. /\ B e. N.)) -> ([<.z, w>.] ~Q = [<.A, B>.] ~Q <-> (z .N B) = (w .N A)))
14		enqeceq 3841	. . . . . . 7 |- (((v e. N. /\ u e. N.) /\ (C e. N. /\ D e. N.)) -> ([<.v, u>.] ~Q = [<.C, D>.] ~Q <-> (v .N D) = (u .N C)))
15		cleqcom 1103	. . . . . . 7 |- ((v .N D) = (u .N C) <-> (u .N C) = (v .N D))
16	14, 15	syl6bb 414	. . . . . 6 |- (((v e. N. /\ u e. N.) /\ (C e. N. /\ D e. N.)) -> ([<.v, u>.] ~Q = [<.C, D>.] ~Q <-> (u .N C) = (v .N D)))
17	13, 16	bi2anan9 478	. . . . 5 |- ((((z e. N. /\ w e. N.) /\ (A e. N. /\ B e. N.)) /\ ((v e. N. /\ u e. N.) /\ (C e. N. /\ D e. N.))) -> (([<.z, w>.] ~Q = [<.A, B>.] ~Q /\ [<.v, u>.] ~Q = [<.C, D>.] ~Q ) <-> ((z .N B) = (w .N A) /\ (u .N C) = (v .N D))))
18		opreq12 3008	. . . . . 6 |- (((z .N B) = (w .N A) /\ (u .N C) = (v .N D)) -> ((z .N B) .N (u .N C)) = ((w .N A) .N (v .N D)))
19		visset 1350	. . . . . . 7 |- z e. V
20		visset 1350	. . . . . . 7 |- u e. V
21		visset 1350	. . . . . . . 8 |- x e. V
22		visset 1350	. . . . . . . 8 |- y e. V
23	21, 22	mulcompi 3818	. . . . . . 7 |- (x .N y) = (y .N x)
24		visset 1350	. . . . . . . 8 |- f e. V
25	22, 24	mulasspi 3819	. . . . . . 7 |- ((x .N y) .N f) = (x .N (y .N f))
26	19, 20, 2, 23, 25, 3	caopr4 3078	. . . . . 6 |- ((z .N u) .N (B .N C)) = ((z .N B) .N (u .N C))
27		visset 1350	. . . . . . 7 |- w e. V
28		visset 1350	. . . . . . 7 |- v e. V
29		ordpipq.1	. . . . . . 7 |- A e. V
30	27, 28, 29, 23, 25, 4	caopr4 3078	. . . . . 6 |- ((w .N v) .N (A .N D)) = ((w .N A) .N (v .N D))
31	18, 26, 30	3eqtr4g 1147	. . . . 5 |- (((z .N B) = (w .N A) /\ (u .N C) = (v .N D)) -> ((z .N u) .N (B .N C)) = ((w .N v) .N (A .N D)))
32	17, 31	syl6bi 187	. . . 4 |- ((((z e. N. /\ w e. N.) /\ (A e. N. /\ B e. N.)) /\ ((v e. N. /\ u e. N.) /\ (C e. N. /\ D e. N.))) -> (([<.z, w>.] ~Q = [<.A, B>.] ~Q /\ [<.v, u>.] ~Q = [<.C, D>.] ~Q ) -> ((z .N u) .N (B .N C)) = ((w .N v) .N (A .N D))))
33		mulclpi 3815	. . . . . . . . . 10 |- ((B e. N. /\ C e. N.) -> (B .N C) e. N.)
34	33	adantrr 312	. . . . . . . . 9 |- ((B e. N. /\ (C e. N. /\ D e. N.)) -> (B .N C) e. N.)
35	34	adantll 309	. . . . . . . 8 |- (((A e. N. /\ B e. N.) /\ (C e. N. /\ D e. N.)) -> (B .N C) e. N.)
36		mulclpi 3815	. . . . . . . . . 10 |- ((w e. N. /\ v e. N.) -> (w .N v) e. N.)
37	36	adantrr 312	. . . . . . . . 9 |- ((w e. N. /\ (v e. N. /\ u e. N.)) -> (w .N v) e. N.)
38	37	adantll 309	. . . . . . . 8 |- (((z e. N. /\ w e. N.) /\ (v e. N. /\ u e. N.)) -> (w .N v) e. N.)
39	35, 38	anim12i 268	. . . . . . 7 |- ((((A e. N. /\ B e. N.) /\ (C e. N. /\ D e. N.)) /\ ((z e. N. /\ w e. N.) /\ (v e. N. /\ u e. N.))) -> ((B .N C) e. N. /\ (w .N v) e. N.))
40	39	ancoms 334	. . . . . 6 |- ((((z e. N. /\ w e. N.) /\ (v e. N. /\ u e. N.)) /\ ((A e. N. /\ B e. N.) /\ (C e. N. /\ D e. N.))) -> ((B .N C) e. N. /\ (w .N v) e. N.))
41	40	an4s 390	. . . . 5 |- ((((z e. N. /\ w e. N.) /\ (A e. N. /\ B e. N.)) /\ ((v e. N. /\ u e. N.) /\ (C e. N. /\ D e. N.))) -> ((B .N C) e. N. /\ (w .N v) e. N.))
42		oprex 3018	. . . . . . 7 |- (z .N u) e. V
43		oprex 3018	. . . . . . 7 |- (B .N C) e. V
44	21, 22	ltmpi 3825	. . . . . . 7 |- (f e. N. -> (x <N y <-> (f .N x) <N (f .N y)))
45		oprex 3018	. . . . . . 7 |- (w .N v) e. V
46		oprex 3018	. . . . . . 7 |- (A .N D) e. V
47	42, 43, 44, 45, 23, 46	caoprord3 3072	. . . . . 6 |- ((((B .N C) e. N. /\ (w .N v) e. N.) /\ ((z .N u) .N (B .N C)) = ((w .N v) .N (A .N D))) -> ((z .N u) <N (w .N v) <-> (A .N D) <N (B .N C)))
48	47	exp 291	. . . . 5 |- (((B .N C) e. N. /\ (w .N v) e. N.) -> (((z .N u) .N (B .N C)) = ((w .N v) .N (A .N D)) -> ((z .N u) <N (w .N v) <-> (A .N D) <N (B .N C))))
49	41, 48	syl 12	. . . 4 |- ((((z e. N. /\ w e. N.) /\ (A e. N. /\ B e. N.)) /\ ((v e. N. /\ u e. N.) /\ (C e. N. /\ D e. N.))) -> (((z .N u) .N (B .N C)) = ((w .N v) .N (A .N D)) -> ((z .N u) <N (w .N v) <-> (A .N D) <N (B .N C))))
50	32, 49	syld 27	. . 3 |- ((((z e. N. /\ w e. N.) /\ (A e. N. /\ B e. N.)) /\ ((v e. N. /\ u e. N.) /\ (C e. N. /\ D e. N.))) -> (([<.z, w>.] ~Q = [<.A, B>.] ~Q /\ [<.v, u>.] ~Q = [<.C, D>.] ~Q ) -> ((z .N u) <N (w .N v) <-> (A .N D) <N (B .N C))))
51	1, 5, 6, 7, 12, 50	brecop 3242	. 2 |- (((A e. N. /\ B e. N.) /\ (C e. N. /\ D e. N.)) -> ([<.A, B>.] ~Q <Q [<.C, D>.] ~Q <-> (A .N D) <N (B .N C)))
52	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 51	brecop2 3243	1 |- ([<.A, B>.] ~Q <Q [<.C, D>.] ~Q <-> (A .N D) <N (B .N C))

Syntax hints:   -> wi 2   <-> wb 127   /\ wa 196   = wceq 1091   e. wcel 1092  Vcvv 1348  <.cop 1810   class class class wbr 2054  (class class class)co 3001  [cec 3198  N.cnpi 3766   .N cmi 3768   <N clti 3769   ~Q ceq 3772  Q.cnq 3773   <Q cltq 3778

This theorem is referenced by:  ltsopq 3869  ltapq 3870  ltmpq 3871  1lt2pq 3872  ltexpq 3874  prlem934b 3932

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-mi 3796  df-lti 3797  df-enq 3831  df-nq 3832  df-ltq 3836

metamath.org