Theorem ordsssuc 2310

Description: A subset of an ordinal is a member of its successor.

Assertion

Ref	Expression
ordsssuc	|- ((A e. On /\ Ord B) -> (A (_ B <-> A e. suc B))

Proof of Theorem ordsssuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordsseleq 2227	. . 3 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (A (_ B <-> (A e. B \/ A = B)))
2		eloni 2209	. . 3 |- (A e. On -> Ord A)
3	1, 2	sylan 343	. 2 |- ((A e. On /\ Ord B) -> (A (_ B <-> (A e. B \/ A = B)))
4		elsucg 2290	. . 3 |- (A e. On -> (A e. suc B <-> (A e. B \/ A = B)))
5	4	adantr 306	. 2 |- ((A e. On /\ Ord B) -> (A e. suc B <-> (A e. B \/ A = B)))
6	3, 5	bitr4d 409	1 |- ((A e. On /\ Ord B) -> (A (_ B <-> A e. suc B))

Syntax hints:   -> wi 2   <-> wb 127   \/ wo 195   /\ wa 196   = wceq 1091   e. wcel 1092   (_ wss 1487  Ord word 2198  Oncon0 2199  suc csuc 2201

This theorem is referenced by:  onsssuc 2311  ordsucun 2333  ordunisssuc 2334

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-suc 2205

metamath.org