Theorem ordsucelsuc 2324

Description: Membership is inherited by successors. Generalization of Exercise 9 of [TakeutiZaring] p. 42.

Assertion

Ref	Expression
ordsucelsuc	|- (Ord B -> (A e. B <-> suc A e. suc B))

Proof of Theorem ordsucelsuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordsseleq 2227	. . . . . . . . . . . 12 |- ((Ord suc A /\ Ord B) -> (suc A (_ B <-> (suc A e. B \/ suc A = B)))
2		ordsuc 2318	. . . . . . . . . . . 12 |- (Ord A <-> Ord suc A)
3	1, 2	sylanb 344	. . . . . . . . . . 11 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (suc A (_ B <-> (suc A e. B \/ suc A = B)))
4	3	adantl 305	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. V /\ (Ord A /\ Ord B)) -> (suc A (_ B <-> (suc A e. B \/ suc A = B)))
5		ordsucss 2320	. . . . . . . . . . . 12 |- (Ord B -> (A e. B -> suc A (_ B))
6	5	ad2antrr 323	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. V /\ (Ord A /\ Ord B)) -> (A e. B -> suc A (_ B))
7		sucssel 2321	. . . . . . . . . . . 12 |- (A e. V -> (suc A (_ B -> A e. B))
8	7	adantr 306	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. V /\ (Ord A /\ Ord B)) -> (suc A (_ B -> A e. B))
9	6, 8	impbid 397	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. V /\ (Ord A /\ Ord B)) -> (A e. B <-> suc A (_ B))
10		sucexb 2301	. . . . . . . . . . . 12 |- (A e. V <-> suc A e. V)
11		elsucg 2290	. . . . . . . . . . . 12 |- (suc A e. V -> (suc A e. suc B <-> (suc A e. B \/ suc A = B)))
12	10, 11	sylbi 174	. . . . . . . . . . 11 |- (A e. V -> (suc A e. suc B <-> (suc A e. B \/ suc A = B)))
13	12	adantr 306	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. V /\ (Ord A /\ Ord B)) -> (suc A e. suc B <-> (suc A e. B \/ suc A = B)))
14	4, 9, 13	3bitr4d 424	. . . . . . . . 9 |- ((A e. V /\ (Ord A /\ Ord B)) -> (A e. B <-> suc A e. suc B))
15	14	exp 291	. . . . . . . 8 |- (A e. V -> ((Ord A /\ Ord B) -> (A e. B <-> suc A e. suc B)))
16		elisset 1354	. . . . . . . . . 10 |- (A e. B -> A e. V)
17		elisset 1354	. . . . . . . . . . 11 |- (suc A e. suc B -> suc A e. V)
18	17, 10	sylibr 175	. . . . . . . . . 10 |- (suc A e. suc B -> A e. V)
19	16, 18	pm5.21ni 503	. . . . . . . . 9 |- (-. A e. V -> (A e. B <-> suc A e. suc B))
20	19	a1d 14	. . . . . . . 8 |- (-. A e. V -> ((Ord A /\ Ord B) -> (A e. B <-> suc A e. suc B)))
21	15, 20	pm2.61i 110	. . . . . . 7 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (A e. B <-> suc A e. suc B))
22	21	biimpd 135	. . . . . 6 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (A e. B -> suc A e. suc B))
23		ordelord 2221	. . . . . 6 |- ((Ord B /\ A e. B) -> Ord A)
24	22, 23	sylan 343	. . . . 5 |- (((Ord B /\ A e. B) /\ Ord B) -> (A e. B -> suc A e. suc B))
25	24	exp31 293	. . . 4 |- (Ord B -> (A e. B -> (Ord B -> (A e. B -> suc A e. suc B))))
26	25	pm2.43a 60	. . 3 |- (Ord B -> (A e. B -> (A e. B -> suc A e. suc B)))
27	26	pm2.43d 59	. 2 |- (Ord B -> (A e. B -> suc A e. suc B))
28	21	biimprd 136	. . . . . 6 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (suc A e. suc B -> A e. B))
29		ordelord 2221	. . . . . . . 8 |- ((Ord suc B /\ suc A e. suc B) -> Ord suc A)
30	29, 2	sylibr 175	. . . . . . 7 |- ((Ord suc B /\ suc A e. suc B) -> Ord A)
31		ordsuc 2318	. . . . . . 7 |- (Ord B <-> Ord suc B)
32	30, 31	sylanb 344	. . . . . 6 |- ((Ord B /\ suc A e. suc B) -> Ord A)
33	28, 32	sylan 343	. . . . 5 |- (((Ord B /\ suc A e. suc B) /\ Ord B) -> (suc A e. suc B -> A e. B))
34	33	exp31 293	. . . 4 |- (Ord B -> (suc A e. suc B -> (Ord B -> (suc A e. suc B -> A e. B))))
35	34	pm2.43a 60	. . 3 |- (Ord B -> (suc A e. suc B -> (suc A e. suc B -> A e. B)))
36	35	pm2.43d 59	. 2 |- (Ord B -> (suc A e. suc B -> A e. B))
37	27, 36	impbid 397	1 |- (Ord B -> (A e. B <-> suc A e. suc B))

Syntax hints:  -. wn 1   -> wi 2   <-> wb 127   \/ wo 195   /\ wa 196   = wceq 1091   e. wcel 1092  Vcvv 1348   (_ wss 1487  Ord word 2198  suc csuc 2201

This theorem is referenced by:  ordsucsssuc 2325  oalimcl 3162  pssnn 3428  r1pw 3529

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-suc 2205

metamath.org