Theorem ordsucsssuc 2325

Description: The subclass relationship between two ordinal classes is inherited by their successors.

Assertion

Ref	Expression
ordsucsssuc	|- ((Ord A /\ Ord B) -> (A (_ B <-> suc A (_ suc B))

Proof of Theorem ordsucsssuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordsucelsuc 2324	. . . 4 |- (Ord A -> (B e. A <-> suc B e. suc A))
2	1	negbid 463	. . 3 |- (Ord A -> (-. B e. A <-> -. suc B e. suc A))
3	2	adantr 306	. 2 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (-. B e. A <-> -. suc B e. suc A))
4		ordtri1 2231	. 2 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (A (_ B <-> -. B e. A))
5		ordtri1 2231	. . 3 |- ((Ord suc A /\ Ord suc B) -> (suc A (_ suc B <-> -. suc B e. suc A))
6		ordsuc 2318	. . 3 |- (Ord A <-> Ord suc A)
7		ordsuc 2318	. . 3 |- (Ord B <-> Ord suc B)
8	5, 6, 7	syl2anb 350	. 2 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (suc A (_ suc B <-> -. suc B e. suc A))
9	3, 4, 8	3bitr4d 424	1 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (A (_ B <-> suc A (_ suc B))

Syntax hints:  -. wn 1   -> wi 2   <-> wb 127   /\ wa 196   e. wcel 1092   (_ wss 1487  Ord word 2198  suc csuc 2201

This theorem is referenced by:  oawordri 3152  rankel 3524  bndrank 3526

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-suc 2205

metamath.org