Theorem ordun 2332

Description: The maximum (i.e. union) of two ordinals is ordinal. Exercise 12 of [TakeutiZaring] p. 40.

Assertion

Ref	Expression
ordun	|- ((Ord A /\ Ord B) -> Ord (A u. B))

Proof of Theorem ordun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cleqid 1102	. . 3 |- (A u. B) = (A u. B)
2		ordequn 2331	. . 3 |- ((Ord A /\ Ord B) -> ((A u. B) = (A u. B) -> ((A u. B) = A \/ (A u. B) = B)))
3	1, 2	mpi 44	. 2 |- ((Ord A /\ Ord B) -> ((A u. B) = A \/ (A u. B) = B))
4		ordeq 2206	. . . 4 |- ((A u. B) = A -> (Ord (A u. B) <-> Ord A))
5	4	biimprcd 138	. . 3 |- (Ord A -> ((A u. B) = A -> Ord (A u. B)))
6		ordeq 2206	. . . 4 |- ((A u. B) = B -> (Ord (A u. B) <-> Ord B))
7	6	biimprcd 138	. . 3 |- (Ord B -> ((A u. B) = B -> Ord (A u. B)))
8	5, 7	jaao 330	. 2 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (((A u. B) = A \/ (A u. B) = B) -> Ord (A u. B)))
9	3, 8	mpd 46	1 |- ((Ord A /\ Ord B) -> Ord (A u. B))

Syntax hints:   -> wi 2   \/ wo 195   /\ wa 196   = wceq 1091   u. cun 1485  Ord word 2198

This theorem is referenced by:  ordsucun 2333

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202

metamath.org