Theorem ordunidif 2260

Description: The union of an ordinal stays the same if a subset equal to one of its elements is removed.

Assertion

Ref	Expression
ordunidif	|- ((Ord A /\ B e. A) -> U.(A \ B) = U.A)

Proof of Theorem ordunidif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordelon 2222	. . . . . . . . . 10 |- ((Ord A /\ B e. A) -> B e. On)
2		eldif 1496	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (B e. (A \ B) <-> (B e. A /\ -. B e. B))
3	2	biimpr 134	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((B e. A /\ -. B e. B) -> B e. (A \ B))
4	3	exp 291	. . . . . . . . . . . 12 |- (B e. A -> (-. B e. B -> B e. (A \ B)))
5		eloni 2209	. . . . . . . . . . . . 13 |- (B e. On -> Ord B)
6		ordeirr 2217	. . . . . . . . . . . . 13 |- (Ord B -> -. B e. B)
7	5, 6	syl 12	. . . . . . . . . . . 12 |- (B e. On -> -. B e. B)
8	4, 7	syl5 22	. . . . . . . . . . 11 |- (B e. A -> (B e. On -> B e. (A \ B)))
9	8	adantl 305	. . . . . . . . . 10 |- ((Ord A /\ B e. A) -> (B e. On -> B e. (A \ B)))
10	1, 9	mpd 46	. . . . . . . . 9 |- ((Ord A /\ B e. A) -> B e. (A \ B))
11	10	a1d 14	. . . . . . . 8 |- ((Ord A /\ B e. A) -> (x e. B -> B e. (A \ B)))
12		onelsst 2255	. . . . . . . . 9 |- (B e. On -> (x e. B -> x (_ B))
13	1, 12	syl 12	. . . . . . . 8 |- ((Ord A /\ B e. A) -> (x e. B -> x (_ B))
14	11, 13	jcad 455	. . . . . . 7 |- ((Ord A /\ B e. A) -> (x e. B -> (B e. (A \ B) /\ x (_ B)))
15	14	adantr 306	. . . . . 6 |- (((Ord A /\ B e. A) /\ x e. A) -> (x e. B -> (B e. (A \ B) /\ x (_ B)))
16		sseq2 1522	. . . . . . 7 |- (y = B -> (x (_ y <-> x (_ B))
17	16	rcla4ev 1403	. . . . . 6 |- ((B e. (A \ B) /\ x (_ B) -> E.y e. (A \ B)x (_ y)
18	15, 17	syl6 23	. . . . 5 |- (((Ord A /\ B e. A) /\ x e. A) -> (x e. B -> E.y e. (A \ B)x (_ y))
19		eldif 1496	. . . . . . . . . 10 |- (x e. (A \ B) <-> (x e. A /\ -. x e. B))
20	19	biimpr 134	. . . . . . . . 9 |- ((x e. A /\ -. x e. B) -> x e. (A \ B))
21		ssid 1519	. . . . . . . . 9 |- x (_ x
22	20, 21	jctir 241	. . . . . . . 8 |- ((x e. A /\ -. x e. B) -> (x e. (A \ B) /\ x (_ x))
23	22	exp 291	. . . . . . 7 |- (x e. A -> (-. x e. B -> (x e. (A \ B) /\ x (_ x)))
24		sseq2 1522	. . . . . . . 8 |- (y = x -> (x (_ y <-> x (_ x))
25	24	rcla4ev 1403	. . . . . . 7 |- ((x e. (A \ B) /\ x (_ x) -> E.y e. (A \ B)x (_ y)
26	23, 25	syl6 23	. . . . . 6 |- (x e. A -> (-. x e. B -> E.y e. (A \ B)x (_ y))
27	26	adantl 305	. . . . 5 |- (((Ord A /\ B e. A) /\ x e. A) -> (-. x e. B -> E.y e. (A \ B)x (_ y))
28	18, 27	pm2.61d 112	. . . 4 |- (((Ord A /\ B e. A) /\ x e. A) -> E.y e. (A \ B)x (_ y)
29	28	exp 291	. . 3 |- ((Ord A /\ B e. A) -> (x e. A -> E.y e. (A \ B)x (_ y))
30	29	r19.21aiv 1259	. 2 |- ((Ord A /\ B e. A) -> A.x e. A E.y e. (A \ B)x (_ y)
31		unidif 1943	. 2 |- (A.x e. A E.y e. (A \ B)x (_ y -> U.(A \ B) = U.A)
32	30, 31	syl 12	1 |- ((Ord A /\ B e. A) -> U.(A \ B) = U.A)

Syntax hints:  -. wn 1   -> wi 2   /\ wa 196   = wceq 1091   e. wcel 1092  A.wral 1201  E.wrex 1202   \ cdif 1484   (_ wss 1487  U.cuni 1919  Ord word 2198  Oncon0 2199

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203

metamath.org