Theorem peano2nn 4433

Description: Peano postulate: a successor of a natural number is a natural number.

Assertion

Ref	Expression
peano2nn	|- (A e. NN -> (A + 1) e. NN)

Proof of Theorem peano2nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq1 3006	. . 3 |- (z = A -> (z + 1) = (A + 1))
2	1	eleq1d 1155	. 2 |- (z = A -> ((z + 1) e. NN <-> (A + 1) e. NN))
3		eleq1 1149	. . . . . . . . 9 |- (y = z -> (y e. x <-> z e. x))
4		opreq1 3006	. . . . . . . . . 10 |- (y = z -> (y + 1) = (z + 1))
5	4	eleq1d 1155	. . . . . . . . 9 |- (y = z -> ((y + 1) e. x <-> (z + 1) e. x))
6	3, 5	imbi12d 474	. . . . . . . 8 |- (y = z -> ((y e. x -> (y + 1) e. x) <-> (z e. x -> (z + 1) e. x)))
7	6	a4b1 928	. . . . . . 7 |- (A.y(y e. x -> (y + 1) e. x) -> (z e. x -> (z + 1) e. x))
8	7	adantl 305	. . . . . 6 |- ((1 e. x /\ A.y(y e. x -> (y + 1) e. x)) -> (z e. x -> (z + 1) e. x))
9	8	a2i 8	. . . . 5 |- (((1 e. x /\ A.y(y e. x -> (y + 1) e. x)) -> z e. x) -> ((1 e. x /\ A.y(y e. x -> (y + 1) e. x)) -> (z + 1) e. x))
10	9	19.20i 691	. . . 4 |- (A.x((1 e. x /\ A.y(y e. x -> (y + 1) e. x)) -> z e. x) -> A.x((1 e. x /\ A.y(y e. x -> (y + 1) e. x)) -> (z + 1) e. x))
11		visset 1350	. . . . 5 |- z e. V
12	11	elintab 1976	. . . 4 |- (z e. |^|{x | (1 e. x /\ A.y(y e. x -> (y + 1) e. x))} <-> A.x((1 e. x /\ A.y(y e. x -> (y + 1) e. x)) -> z e. x))
13		oprex 3018	. . . . 5 |- (z + 1) e. V
14	13	elintab 1976	. . . 4 |- ((z + 1) e. |^|{x | (1 e. x /\ A.y(y e. x -> (y + 1) e. x))} <-> A.x((1 e. x /\ A.y(y e. x -> (y + 1) e. x)) -> (z + 1) e. x))
15	10, 12, 14	3imtr4 192	. . 3 |- (z e. |^|{x | (1 e. x /\ A.y(y e. x -> (y + 1) e. x))} -> (z + 1) e. |^|{x | (1 e. x /\ A.y(y e. x -> (y + 1) e. x))})
16		df-n 4423	. . . 4 |- NN = |^|{x | (1 e. x /\ A.y(y e. x -> (y + 1) e. x))}
17	16	eleq2i 1153	. . 3 |- (z e. NN <-> z e. |^|{x | (1 e. x /\ A.y(y e. x -> (y + 1) e. x))})
18	16	eleq2i 1153	. . 3 |- ((z + 1) e. NN <-> (z + 1) e. |^|{x | (1 e. x /\ A.y(y e. x -> (y + 1) e. x))})
19	15, 17, 18	3imtr4 192	. 2 |- (z e. NN -> (z + 1) e. NN)
20	2, 19	vtoclga 1387	1 |- (A e. NN -> (A + 1) e. NN)

Syntax hints:   -> wi 2   /\ wa 196  A.wal 672   = weq 797   e. wel 803  {cab 1090   = wceq 1091   e. wcel 1092  |^|cint 1965  (class class class)co 3001  1c1 4029   + caddc 4031  NNcn 4093

This theorem is referenced by:  nnind 4434  nnaddclt 4436  nnltp1let 4449  nnsub 4450  nnunb 4520  elnn0nn 4593  seqlem2 4663  seqsuclem 4669  expp1t 4678  nneo 4719  facp1t 4873  ruclem8 4892  ruclem15 4899  ruclem18 4902  ruclem19 4903  ruclem20 4904  ruclem21 4905  ruclem24 4908  ruclem26 4910  ruclem27 4911  ruclem28 4912  ruclem30 4914  ruclem31 4915  ruclem35 4919

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-br 2063  df-opab 2098  df-xp 2424  df-cnv 2426  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fv 2438  df-opr 3003  df-n 4423

metamath.org