Theorem php2 3410

Description: Corollary of Pigeonhole Principle.

Assertion

Ref	Expression
php2	|- ((A e. om /\ B (. A) -> B ~< A)

Proof of Theorem php2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 1149	. . . . 5 |- (x = A -> (x e. om <-> A e. om))
2		psseq2 1560	. . . . 5 |- (x = A -> (B (. x <-> B (. A))
3	1, 2	anbi12d 476	. . . 4 |- (x = A -> ((x e. om /\ B (. x) <-> (A e. om /\ B (. A)))
4		breq2 2066	. . . 4 |- (x = A -> (B ~< x <-> B ~< A))
5	3, 4	imbi12d 474	. . 3 |- (x = A -> (((x e. om /\ B (. x) -> B ~< x) <-> ((A e. om /\ B (. A) -> B ~< A)))
6		pssss 1567	. . . . . . 7 |- (B (. x -> B (_ x)
7		visset 1350	. . . . . . . 8 |- x e. V
8		ssdom2g 3312	. . . . . . . 8 |- (x e. V -> (B (_ x -> B ~<_ x))
9	7, 8	ax-mp 6	. . . . . . 7 |- (B (_ x -> B ~<_ x)
10	6, 9	syl 12	. . . . . 6 |- (B (. x -> B ~<_ x)
11	10	adantl 305	. . . . 5 |- ((x e. om /\ B (. x) -> B ~<_ x)
12		php 3409	. . . . . 6 |- ((x e. om /\ B (. x) -> -. x ~~ B)
13	7	ensym 3317	. . . . . 6 |- (B ~~ x -> x ~~ B)
14	12, 13	nsyl 102	. . . . 5 |- ((x e. om /\ B (. x) -> -. B ~~ x)
15	11, 14	jca 236	. . . 4 |- ((x e. om /\ B (. x) -> (B ~<_ x /\ -. B ~~ x))
16		brsdom 3286	. . . 4 |- (B ~< x <-> (B ~<_ x /\ -. B ~~ x))
17	15, 16	sylibr 175	. . 3 |- ((x e. om /\ B (. x) -> B ~< x)
18	5, 17	vtoclg 1383	. 2 |- (A e. om -> ((A e. om /\ B (. A) -> B ~< A))
19	18	anabsi5 377	1 |- ((A e. om /\ B (. A) -> B ~< A)

Syntax hints:  -. wn 1   -> wi 2   /\ wa 196   = wceq 1091   e. wcel 1092  Vcvv 1348   (_ wss 1487   (. wpss 1488   class class class wbr 2054  omcom 2372   ~~ cen 3271   ~<_ cdom 3272   ~< csdm 3273

This theorem is referenced by:  php4 3412  nndomo 3416

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-er 3200  df-en 3274  df-dom 3275  df-sdom 3276

metamath.org