Theorem pjc 5654

Description: Two subspaces commute iff their projections commute. Lemma 4 of [Kalmbach] p. 67.

Hypotheses

Ref	Expression
pjclem1.1	|- G e. CH
pjclem1.2	|- H e. CH

Assertion

Ref	Expression
pjc	|- (G Com H <-> ((Proj` G) o. (Proj` H)) = ((Proj` H) o. (Proj` G)))

Proof of Theorem pjc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjclem1.1	. . 3 |- G e. CH
2		pjclem1.2	. . 3 |- H e. CH
3	1, 2	pjclem2 5650	. 2 |- (G Com H -> ((Proj` G) o. (Proj` H)) = ((Proj` H) o. (Proj` G)))
4	1, 2	pjclem4 5653	. . . . . 6 |- (((Proj` G) o. (Proj` H)) = ((Proj` H) o. (Proj` G)) -> ((Proj` G) o. (Proj` H)) = (Proj` (G i^i H)))
5	1, 2	pjclem3 5651	. . . . . . 7 |- (((Proj` G) o. (Proj` H)) = ((Proj` H) o. (Proj` G)) -> ((Proj` G) o. (Proj` (_|_` H))) = ((Proj` (_|_` H)) o. (Proj` G)))
6	2	chocl 5192	. . . . . . . 8 |- (_|_` H) e. CH
7	1, 6	pjclem4 5653	. . . . . . 7 |- (((Proj` G) o. (Proj` (_|_` H))) = ((Proj` (_|_` H)) o. (Proj` G)) -> ((Proj` G) o. (Proj` (_|_` H))) = (Proj` (G i^i (_|_` H))))
8	5, 7	syl 12	. . . . . 6 |- (((Proj` G) o. (Proj` H)) = ((Proj` H) o. (Proj` G)) -> ((Proj` G) o. (Proj` (_|_` H))) = (Proj` (G i^i (_|_` H))))
9	4, 8	opreq12d 3014	. . . . 5 |- (((Proj` G) o. (Proj` H)) = ((Proj` H) o. (Proj` G)) -> (((Proj` G) o. (Proj` H)) +P ((Proj` G) o. (Proj` (_|_` H)))) = ((Proj` (G i^i H)) +P (Proj` (G i^i (_|_` H)))))
10	2	pjtot 5644	. . . . . . 7 |- ((Proj` H) +P (Proj` (_|_` H))) = (Proj` H~)
11	10	coeq2i 2505	. . . . . 6 |- ((Proj` G) o. ((Proj` H) +P (Proj` (_|_` H)))) = ((Proj` G) o. (Proj` H~))
12	2	pjf 5588	. . . . . . 7 |- (Proj` H):H~-->H~
13	6	pjf 5588	. . . . . . 7 |- (Proj` (_|_` H)):H~-->H~
14	1, 12, 13	pjsdi 5625	. . . . . 6 |- ((Proj` G) o. ((Proj` H) +P (Proj` (_|_` H)))) = (((Proj` G) o. (Proj` H)) +P ((Proj` G) o. (Proj` (_|_` H))))
15	1	pjf 5588	. . . . . . 7 |- (Proj` G):H~-->H~
16	15	hoid1 5617	. . . . . 6 |- ((Proj` G) o. (Proj` H~)) = (Proj` G)
17	11, 14, 16	3eqtr3r 1125	. . . . 5 |- (Proj` G) = (((Proj` G) o. (Proj` H)) +P ((Proj` G) o. (Proj` (_|_` H))))
18		inss2 1658	. . . . . . . 8 |- (G i^i H) (_ H
19	1	chocl 5192	. . . . . . . . 9 |- (_|_` G) e. CH
20	2, 19	chub2 5391	. . . . . . . 8 |- H (_ ((_|_` G) vH H)
21	18, 20	sstri 1512	. . . . . . 7 |- (G i^i H) (_ ((_|_` G) vH H)
22	1, 2	chdmm3 5400	. . . . . . 7 |- (_|_` (G i^i (_|_` H))) = ((_|_` G) vH H)
23	21, 22	sseqtr4 1533	. . . . . 6 |- (G i^i H) (_ (_|_` (G i^i (_|_` H)))
24	1, 2	chincl 5382	. . . . . . 7 |- (G i^i H) e. CH
25	1, 6	chincl 5382	. . . . . . 7 |- (G i^i (_|_` H)) e. CH
26	24, 25	pjscj 5640	. . . . . 6 |- ((G i^i H) (_ (_|_` (G i^i (_|_` H))) -> (Proj` ((G i^i H) vH (G i^i (_|_` H)))) = ((Proj` (G i^i H)) +P (Proj` (G i^i (_|_` H)))))
27	23, 26	ax-mp 6	. . . . 5 |- (Proj` ((G i^i H) vH (G i^i (_|_` H)))) = ((Proj` (G i^i H)) +P (Proj` (G i^i (_|_` H))))
28	9, 17, 27	3eqtr4g 1147	. . . 4 |- (((Proj` G) o. (Proj` H)) = ((Proj` H) o. (Proj` G)) -> (Proj` G) = (Proj` ((G i^i H) vH (G i^i (_|_` H)))))
29	24, 25	chjcl 5379	. . . . 5 |- ((G i^i H) vH (G i^i (_|_` H))) e. CH
30	1, 29	pj11 5591	. . . 4 |- ((Proj` G) = (Proj` ((G i^i H) vH (G i^i (_|_` H)))) <-> G = ((G i^i H) vH (G i^i (_|_` H))))
31	28, 30	sylib 173	. . 3 |- (((Proj` G) o. (Proj` H)) = ((Proj` H) o. (Proj` G)) -> G = ((G i^i H) vH (G i^i (_|_` H))))
32	1, 2	cmbr 5499	. . 3 |- (G Com H <-> G = ((G i^i H) vH (G i^i (_|_` H))))
33	31, 32	sylibr 175	. 2 |- (((Proj` G) o. (Proj` H)) = ((Proj` H) o. (Proj` G)) -> G Com H)
34	3, 33	impbi 139	1 |- (G Com H <-> ((Proj` G) o. (Proj` H)) = ((Proj` H) o. (Proj` G)))

Syntax hints:   <-> wb 127   = wceq 1091   e. wcel 1092   i^i cin 1486   (_ wss 1487   class class class wbr 2054   o. ccom 2414  ` cfv 2422  (class class class)co 3001  H~chil 4958  CHcch 4968  _|_cort 4969   vH chj 4972   Com ccm 4975  Projcpj 4976   +P chos 4977

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079  ax-ac 1080  ax-hilex 4983  ax-hvaddcl 4984  ax-hvcom 4985  ax-hvass 4986  ax-hvzercl 4987  ax-hvaddid 4988  ax-hvmulcl 4989  ax-hvmulid 4991  ax-hvmulass 4992  ax-hvdistr1 4993  ax-hvdistr2 4994  ax-hvmulzer 4995  ax-hicl 5043  ax-his1 5045  ax-his2 5046  ax-his3 5047  ax-his4 5048  ax-hcompl 5113

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-sup 2154  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1st 3087  df-2nd 3088  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-i 4037  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216  df-le 4277  df-n 4423  df-2 4462  df-3 4463  df-4 4464  df-n0 4535  df-z 4564  df-seq 4661  df-exp 4676  df-sqr 4728  df-re 4790  df-im 4791  df-cj 4792  df-abs 4793  df-clim 4876  df-hvsub 4996  df-hnorm 5074  df-cauchy 5102  df-hlim 5107  df-sh 5114  df-ch 5127  df-oc 5156  df-ch0 5157  df-pj 5244  df-shsum 5275  df-chj 5277  df-hosum 5485  df-pjdif 5486  df-cm 5493

metamath.org