Theorem pjmvalt 5245

Description: The value of the projection map.

Assertion

Ref	Expression
pjmvalt	|- (H e. CH -> (Proj` H) = {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = U.{z e. H | E.w e. (_|_` H)x = (z +v w)})})

Distinct variable group(s):   x,y,z,w,H

Proof of Theorem pjmvalt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq2 1150	. . . . . . . . 9 |- (h = H -> (z e. h <-> z e. H))
2		fveq2 2832	. . . . . . . . . 10 |- (h = H -> (_|_` h) = (_|_` H))
3		rexeq 1325	. . . . . . . . . 10 |- ((_|_` h) = (_|_` H) -> (E.w e. (_|_` h)x = (z +v w) <-> E.w e. (_|_` H)x = (z +v w)))
4	2, 3	syl 12	. . . . . . . . 9 |- (h = H -> (E.w e. (_|_` h)x = (z +v w) <-> E.w e. (_|_` H)x = (z +v w)))
5	1, 4	anbi12d 476	. . . . . . . 8 |- (h = H -> ((z e. h /\ E.w e. (_|_` h)x = (z +v w)) <-> (z e. H /\ E.w e. (_|_` H)x = (z +v w))))
6	5	biabdv 1183	. . . . . . 7 |- (h = H -> {z | (z e. h /\ E.w e. (_|_` h)x = (z +v w))} = {z | (z e. H /\ E.w e. (_|_` H)x = (z +v w))})
7		df-rab 1208	. . . . . . 7 |- {z e. h | E.w e. (_|_` h)x = (z +v w)} = {z | (z e. h /\ E.w e. (_|_` h)x = (z +v w))}
8		df-rab 1208	. . . . . . 7 |- {z e. H | E.w e. (_|_` H)x = (z +v w)} = {z | (z e. H /\ E.w e. (_|_` H)x = (z +v w))}
9	6, 7, 8	3eqtr4g 1147	. . . . . 6 |- (h = H -> {z e. h | E.w e. (_|_` h)x = (z +v w)} = {z e. H | E.w e. (_|_` H)x = (z +v w)})
10	9	unieqd 1929	. . . . 5 |- (h = H -> U.{z e. h | E.w e. (_|_` h)x = (z +v w)} = U.{z e. H | E.w e. (_|_` H)x = (z +v w)})
11	10	cleq2d 1112	. . . 4 |- (h = H -> (y = U.{z e. h | E.w e. (_|_` h)x = (z +v w)} <-> y = U.{z e. H | E.w e. (_|_` H)x = (z +v w)}))
12	11	anbi2d 468	. . 3 |- (h = H -> ((x e. H~ /\ y = U.{z e. h | E.w e. (_|_` h)x = (z +v w)}) <-> (x e. H~ /\ y = U.{z e. H | E.w e. (_|_` H)x = (z +v w)})))
13	12	biopabdv 2102	. 2 |- (h = H -> {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = U.{z e. h | E.w e. (_|_` h)x = (z +v w)})} = {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = U.{z e. H | E.w e. (_|_` H)x = (z +v w)})})
14		df-pj 5244	. 2 |- Proj = {<.h, f>. | (h e. CH /\ f = {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = U.{z e. h | E.w e. (_|_` h)x = (z +v w)})})}
15		ax-hilex 4983	. . 3 |- H~ e. V
16		moeq 1431	. . . 4 |- E*y y = U.{z e. H | E.w e. (_|_` H)x = (z +v w)}
17	16	a1i 7	. . 3 |- (x e. H~ -> E*y y = U.{z e. H | E.w e. (_|_` H)x = (z +v w)})
18	15, 17	funopabex 2742	. 2 |- {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = U.{z e. H | E.w e. (_|_` H)x = (z +v w)})} e. V
19	13, 14, 18	fvopab4 2871	1 |- (H e. CH -> (Proj` H) = {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = U.{z e. H | E.w e. (_|_` H)x = (z +v w)})})

Syntax hints:   -> wi 2   <-> wb 127   /\ wa 196   e. wel 803  E*wmo 1008  {cab 1090   = wceq 1091   e. wcel 1092  E.wrex 1202  {crab 1204  U.cuni 1919  {copab 2055  ` cfv 2422  (class class class)co 3001  H~chil 4958   +v cva 4959  CHcch 4968  _|_cort 4969  Projcpj 4976

This theorem is referenced by:  pjvalt 5246  pjfn 5586

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-hilex 4983

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-rex 1206  df-rab 1208  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-fv 2438  df-pj 5244

metamath.org