Theorem pjnel 5665

Description: If a vector does not belong to subspace, the norm of its projection is less than its norm.

Hypotheses

Ref	Expression
pjnorm.1	|- H e. CH
pjnorm.2	|- A e. H~

Assertion

Ref	Expression
pjnel	|- (-. A e. H <-> (norm` ((Proj` H)` A)) < (norm` A))

Proof of Theorem pjnel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjnorm.1	. . . 4 |- H e. CH
2		pjnorm.2	. . . 4 |- A e. H~
3	1, 2	pjnorm 5663	. . 3 |- (norm` ((Proj` H)` A)) <_ (norm` A)
4	3	biantrur 544	. 2 |- (-. (norm` ((Proj` H)` A)) = (norm` A) <-> ((norm` ((Proj` H)` A)) <_ (norm` A) /\ -. (norm` ((Proj` H)` A)) = (norm` A)))
5	1, 2	pjoc1 5268	. . . 4 |- (A e. H <-> ((Proj` (_|_` H))` A) = 0v)
6	1, 2	pjhcli 5258	. . . . . . . . 9 |- ((Proj` H)` A) e. H~
7	6	normcl 5081	. . . . . . . 8 |- (norm` ((Proj` H)` A)) e. RR
8	7	sqrecl 4699	. . . . . . 7 |- ((norm` ((Proj` H)` A))^2) e. RR
9	8	recn 4098	. . . . . 6 |- ((norm` ((Proj` H)` A))^2) e. CC
10		0cn 4100	. . . . . . 7 |- 0 e. CC
11	10	sqcl 4686	. . . . . 6 |- (0^2) e. CC
12	1	chocl 5192	. . . . . . . . . 10 |- (_|_` H) e. CH
13	12, 2	pjhcli 5258	. . . . . . . . 9 |- ((Proj` (_|_` H))` A) e. H~
14	13	normcl 5081	. . . . . . . 8 |- (norm` ((Proj` (_|_` H))` A)) e. RR
15	14	sqrecl 4699	. . . . . . 7 |- ((norm` ((Proj` (_|_` H))` A))^2) e. RR
16	15	recn 4098	. . . . . 6 |- ((norm` ((Proj` (_|_` H))` A))^2) e. CC
17	9, 11, 16	addcan 4120	. . . . 5 |- ((((norm` ((Proj` H)` A))^2) + (0^2)) = (((norm` ((Proj` H)` A))^2) + ((norm` ((Proj` (_|_` H))` A))^2)) <-> (0^2) = ((norm` ((Proj` (_|_` H))` A))^2))
18		cleqid 1102	. . . . . . . . 9 |- 0 = 0
19	10	sqe0 4687	. . . . . . . . 9 |- ((0^2) = 0 <-> 0 = 0)
20	18, 19	mpbir 165	. . . . . . . 8 |- (0^2) = 0
21	20	opreq2i 3010	. . . . . . 7 |- (((norm` ((Proj` H)` A))^2) + (0^2)) = (((norm` ((Proj` H)` A))^2) + 0)
22	9	addid1 4112	. . . . . . 7 |- (((norm` ((Proj` H)` A))^2) + 0) = ((norm` ((Proj` H)` A))^2)
23	21, 22	eqtr2 1120	. . . . . 6 |- ((norm` ((Proj` H)` A))^2) = (((norm` ((Proj` H)` A))^2) + (0^2))
24	1, 2	pjpyth 5664	. . . . . 6 |- ((norm` A)^2) = (((norm` ((Proj` H)` A))^2) + ((norm` ((Proj` (_|_` H))` A))^2))
25	23, 24	cleq12i 1114	. . . . 5 |- (((norm` ((Proj` H)` A))^2) = ((norm` A)^2) <-> (((norm` ((Proj` H)` A))^2) + (0^2)) = (((norm` ((Proj` H)` A))^2) + ((norm` ((Proj` (_|_` H))` A))^2)))
26	13	norm-i 5083	. . . . . . 7 |- ((norm` ((Proj` (_|_` H))` A)) = 0 <-> ((Proj` (_|_` H))` A) = 0v)
27		cleqcom 1103	. . . . . . 7 |- ((norm` ((Proj` (_|_` H))` A)) = 0 <-> 0 = (norm` ((Proj` (_|_` H))` A)))
28	26, 27	bitr3 153	. . . . . 6 |- (((Proj` (_|_` H))` A) = 0v <-> 0 = (norm` ((Proj` (_|_` H))` A)))
29		ax0re 4063	. . . . . . . 8 |- 0 e. RR
30	29	leid 4339	. . . . . . 7 |- 0 <_ 0
31		normge0t 5077	. . . . . . . 8 |- (((Proj` (_|_` H))` A) e. H~ -> 0 <_ (norm` ((Proj` (_|_` H))` A)))
32	13, 31	ax-mp 6	. . . . . . 7 |- 0 <_ (norm` ((Proj` (_|_` H))` A))
33	29, 14	sqe11 4702	. . . . . . 7 |- ((0 <_ 0 /\ 0 <_ (norm` ((Proj` (_|_` H))` A))) -> ((0^2) = ((norm` ((Proj` (_|_` H))` A))^2) <-> 0 = (norm` ((Proj` (_|_` H))` A))))
34	30, 32, 33	mp2an 520	. . . . . 6 |- ((0^2) = ((norm` ((Proj` (_|_` H))` A))^2) <-> 0 = (norm` ((Proj` (_|_` H))` A)))
35	28, 34	bitr4 154	. . . . 5 |- (((Proj` (_|_` H))` A) = 0v <-> (0^2) = ((norm` ((Proj` (_|_` H))` A))^2))
36	17, 25, 35	3bitr4r 159	. . . 4 |- (((Proj` (_|_` H))` A) = 0v <-> ((norm` ((Proj` H)` A))^2) = ((norm` A)^2))
37		normge0t 5077	. . . . . 6 |- (((Proj` H)` A) e. H~ -> 0 <_ (norm` ((Proj` H)` A)))
38	6, 37	ax-mp 6	. . . . 5 |- 0 <_ (norm` ((Proj` H)` A))
39		normge0t 5077	. . . . . 6 |- (A e. H~ -> 0 <_ (norm` A))
40	2, 39	ax-mp 6	. . . . 5 |- 0 <_ (norm` A)
41	2	normcl 5081	. . . . . 6 |- (norm` A) e. RR
42	7, 41	sqe11 4702	. . . . 5 |- ((0 <_ (norm` ((Proj` H)` A)) /\ 0 <_ (norm` A)) -> (((norm` ((Proj` H)` A))^2) = ((norm` A)^2) <-> (norm` ((Proj` H)` A)) = (norm` A)))
43	38, 40, 42	mp2an 520	. . . 4 |- (((norm` ((Proj` H)` A))^2) = ((norm` A)^2) <-> (norm` ((Proj` H)` A)) = (norm` A))
44	5, 36, 43	3bitr 155	. . 3 |- (A e. H <-> (norm` ((Proj` H)` A)) = (norm` A))
45	44	negbii 162	. 2 |- (-. A e. H <-> -. (norm` ((Proj` H)` A)) = (norm` A))
46	7, 41	ltlen 4299	. 2 |- ((norm` ((Proj` H)` A)) < (norm` A) <-> ((norm` ((Proj` H)` A)) <_ (norm` A) /\ -. (norm` ((Proj` H)` A)) = (norm` A)))
47	4, 45, 46	3bitr4 158	1 |- (-. A e. H <-> (norm` ((Proj` H)` A)) < (norm` A))

Syntax hints:  -. wn 1   <-> wb 127   /\ wa 196   = wceq 1091   e. wcel 1092   class class class wbr 2054  ` cfv 2422  (class class class)co 3001  0cc0 4028   + caddc 4031   < clt 4033   <_ cle 4092  2c2 4454  ^cexp 4675  H~chil 4958  0vc0v 4961  normcno 4964  CHcch 4968  _|_cort 4969  Projcpj 4976

This theorem is referenced by:  pjnelt 5667

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079  ax-ac 1080  ax-hilex 4983  ax-hvaddcl 4984  ax-hvcom 4985  ax-hvass 4986  ax-hvzercl 4987  ax-hvaddid 4988  ax-hvmulcl 4989  ax-hvmulid 4991  ax-hvmulass 4992  ax-hvdistr1 4993  ax-hvdistr2 4994  ax-hvmulzer 4995  ax-hicl 5043  ax-his1 5045  ax-his2 5046  ax-his3 5047  ax-his4 5048  ax-hcompl 5113

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-sup 2154  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1st 3087  df-2nd 3088  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-i 4037  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216  df-le 4277  df-n 4423  df-2 4462  df-3 4463  df-4 4464  df-n0 4535  df-z 4564  df-seq 4661  df-exp 4676  df-sqr 4728  df-re 4790  df-im 4791  df-cj 4792  df-abs 4793  df-clim 4876  df-hvsub 4996  df-hnorm 5074  df-cauchy 5102  df-hlim 5107  df-sh 5114  df-ch 5127  df-oc 5156  df-ch0 5157  df-pj 5244

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