Theorem pjthlem1 5225

Description: Lemma for Theorem 3.7(i) of [Beran] p. 102.

Hypotheses

Ref	Expression
pjthlem1.1	|- A e. H~
pjthlem1.2	|- B e. H~
pjthlem1.3	|- D e. H~
pjthlem1.4	|- S e. CC
pjthlem1.5	|- C = (A -v B)

Assertion

Ref	Expression
pjthlem1	|- ((norm` (B -v A)) <_ (norm` ((B +v (S .s D)) -v A)) <-> ((norm` C)^2) <_ ((norm` (C -v (S .s D)))^2))

Proof of Theorem pjthlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjthlem1.2	. . . . 5 |- B e. H~
2		pjthlem1.1	. . . . 5 |- A e. H~
3	1, 2	normsub 5089	. . . 4 |- (norm` (B -v A)) = (norm` (A -v B))
4		pjthlem1.5	. . . . 5 |- C = (A -v B)
5	4	fveq2i 2835	. . . 4 |- (norm` C) = (norm` (A -v B))
6	3, 5	eqtr4 1122	. . 3 |- (norm` (B -v A)) = (norm` C)
7		pjthlem1.4	. . . . . . 7 |- S e. CC
8		pjthlem1.3	. . . . . . 7 |- D e. H~
9	7, 8	hvmulcl 4990	. . . . . 6 |- (S .s D) e. H~
10	1, 9	hvaddcl 4999	. . . . 5 |- (B +v (S .s D)) e. H~
11	10, 2	normsub 5089	. . . 4 |- (norm` ((B +v (S .s D)) -v A)) = (norm` (A -v (B +v (S .s D))))
12	4	opreq1i 3009	. . . . . 6 |- (C -v (S .s D)) = ((A -v B) -v (S .s D))
13	2, 1, 9	hvsubass 5027	. . . . . 6 |- ((A -v B) -v (S .s D)) = (A -v (B +v (S .s D)))
14	12, 13	eqtr2 1120	. . . . 5 |- (A -v (B +v (S .s D))) = (C -v (S .s D))
15	14	fveq2i 2835	. . . 4 |- (norm` (A -v (B +v (S .s D)))) = (norm` (C -v (S .s D)))
16	11, 15	eqtr 1119	. . 3 |- (norm` ((B +v (S .s D)) -v A)) = (norm` (C -v (S .s D)))
17	6, 16	breq12i 2070	. 2 |- ((norm` (B -v A)) <_ (norm` ((B +v (S .s D)) -v A)) <-> (norm` C) <_ (norm` (C -v (S .s D))))
18	2, 1	hvsubcl 5002	. . . . 5 |- (A -v B) e. H~
19	4, 18	eqeltr 1159	. . . 4 |- C e. H~
20		normge0t 5077	. . . 4 |- (C e. H~ -> 0 <_ (norm` C))
21	19, 20	ax-mp 6	. . 3 |- 0 <_ (norm` C)
22	19, 9	hvsubcl 5002	. . . 4 |- (C -v (S .s D)) e. H~
23		normge0t 5077	. . . 4 |- ((C -v (S .s D)) e. H~ -> 0 <_ (norm` (C -v (S .s D))))
24	22, 23	ax-mp 6	. . 3 |- 0 <_ (norm` (C -v (S .s D)))
25	19	normcl 5081	. . . 4 |- (norm` C) e. RR
26	22	normcl 5081	. . . 4 |- (norm` (C -v (S .s D))) e. RR
27	25, 26	le2sqe 4701	. . 3 |- ((0 <_ (norm` C) /\ 0 <_ (norm` (C -v (S .s D)))) -> ((norm` C) <_ (norm` (C -v (S .s D))) <-> ((norm` C)^2) <_ ((norm` (C -v (S .s D)))^2)))
28	21, 24, 27	mp2an 520	. 2 |- ((norm` C) <_ (norm` (C -v (S .s D))) <-> ((norm` C)^2) <_ ((norm` (C -v (S .s D)))^2))
29	17, 28	bitr 151	1 |- ((norm` (B -v A)) <_ (norm` ((B +v (S .s D)) -v A)) <-> ((norm` C)^2) <_ ((norm` (C -v (S .s D)))^2))

Syntax hints:   <-> wb 127   = wceq 1091   e. wcel 1092   class class class wbr 2054  ` cfv 2422  (class class class)co 3001  CCcc 4026  0cc0 4028   <_ cle 4092  2c2 4454  ^cexp 4675  H~chil 4958   +v cva 4959   .s csm 4960   -v cmv 4962  normcno 4964

This theorem is referenced by:  pjthlem9 5233

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079  ax-hvaddcl 4984  ax-hvcom 4985  ax-hvass 4986  ax-hvzercl 4987  ax-hvmulcl 4989  ax-hvmulid 4991  ax-hvmulass 4992  ax-hvdistr1 4993  ax-hvmulzer 4995  ax-hicl 5043  ax-his1 5045  ax-his3 5047  ax-his4 5048

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-sup 2154  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1st 3087  df-2nd 3088  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-i 4037  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216  df-le 4277  df-n 4423  df-2 4462  df-n0 4535  df-z 4564  df-seq 4661  df-exp 4676  df-sqr 4728  df-re 4790  df-im 4791  df-cj 4792  df-abs 4793  df-hvsub 4996  df-hnorm 5074

metamath.org