Theorem prlem934b 3932

Description: Sublemma for Lemma 9-3.4 of [Gleason] p. 122.

Assertion

Ref	Expression
prlem934b	|- (((u e. N. /\ w e. N.) /\ (v e. N. /\ z e. N.)) -> (([<.(w .N v), 1o>.] ~Q .Q [<.z, w>.] ~Q ) = [<.v, u>.] ~Q \/ [<.v, u>.] ~Q <Q ([<.(w .N v), 1o>.] ~Q .Q [<.z, w>.] ~Q )))

Distinct variable group(s):   z,w,v,u

Proof of Theorem prlem934b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulclpi 3815	. . . . . . 7 |- ((u e. N. /\ z e. N.) -> (u .N z) e. N.)
2		nlt1pi 3827	. . . . . . . 8 |- -. (u .N z) <N 1o
3		1pi 3805	. . . . . . . . . 10 |- 1o e. N.
4		ltsopi 3810	. . . . . . . . . . 11 |- <N Or N.
5		sotric 2148	. . . . . . . . . . 11 |- (( <N Or N. /\ ((u .N z) e. N. /\ 1o e. N.)) -> ((u .N z) <N 1o <-> -. ((u .N z) = 1o \/ 1o <N (u .N z))))
6	4, 5	mpan 518	. . . . . . . . . 10 |- (((u .N z) e. N. /\ 1o e. N.) -> ((u .N z) <N 1o <-> -. ((u .N z) = 1o \/ 1o <N (u .N z))))
7	3, 6	mpan2 519	. . . . . . . . 9 |- ((u .N z) e. N. -> ((u .N z) <N 1o <-> -. ((u .N z) = 1o \/ 1o <N (u .N z))))
8	7	bicon2d 404	. . . . . . . 8 |- ((u .N z) e. N. -> (((u .N z) = 1o \/ 1o <N (u .N z)) <-> -. (u .N z) <N 1o))
9	2, 8	mpbiri 169	. . . . . . 7 |- ((u .N z) e. N. -> ((u .N z) = 1o \/ 1o <N (u .N z)))
10	1, 9	syl 12	. . . . . 6 |- ((u e. N. /\ z e. N.) -> ((u .N z) = 1o \/ 1o <N (u .N z)))
11	10	adantl 305	. . . . 5 |- ((v e. N. /\ (u e. N. /\ z e. N.)) -> ((u .N z) = 1o \/ 1o <N (u .N z)))
12		enqeceq 3841	. . . . . . . . . . . 12 |- ((((v .N z) e. N. /\ 1o e. N.) /\ (v e. N. /\ u e. N.)) -> ([<.(v .N z), 1o>.] ~Q = [<.v, u>.] ~Q <-> ((v .N z) .N u) = (1o .N v)))
13	12	ancoms 334	. . . . . . . . . . 11 |- (((v e. N. /\ u e. N.) /\ ((v .N z) e. N. /\ 1o e. N.)) -> ([<.(v .N z), 1o>.] ~Q = [<.v, u>.] ~Q <-> ((v .N z) .N u) = (1o .N v)))
14	3, 13	mpan22 532	. . . . . . . . . 10 |- (((v e. N. /\ u e. N.) /\ (v .N z) e. N.) -> ([<.(v .N z), 1o>.] ~Q = [<.v, u>.] ~Q <-> ((v .N z) .N u) = (1o .N v)))
15		mulclpi 3815	. . . . . . . . . 10 |- ((v e. N. /\ z e. N.) -> (v .N z) e. N.)
16	14, 15	sylan2 346	. . . . . . . . 9 |- (((v e. N. /\ u e. N.) /\ (v e. N. /\ z e. N.)) -> ([<.(v .N z), 1o>.] ~Q = [<.v, u>.] ~Q <-> ((v .N z) .N u) = (1o .N v)))
17	16	an4s 390	. . . . . . . 8 |- (((v e. N. /\ v e. N.) /\ (u e. N. /\ z e. N.)) -> ([<.(v .N z), 1o>.] ~Q = [<.v, u>.] ~Q <-> ((v .N z) .N u) = (1o .N v)))
18	17	anabsan 386	. . . . . . 7 |- ((v e. N. /\ (u e. N. /\ z e. N.)) -> ([<.(v .N z), 1o>.] ~Q = [<.v, u>.] ~Q <-> ((v .N z) .N u) = (1o .N v)))
19		opreq1 3006	. . . . . . . 8 |- ((u .N z) = 1o -> ((u .N z) .N v) = (1o .N v))
20		visset 1350	. . . . . . . . 9 |- v e. V
21		visset 1350	. . . . . . . . 9 |- z e. V
22		visset 1350	. . . . . . . . 9 |- u e. V
23		visset 1350	. . . . . . . . . 10 |- f e. V
24		visset 1350	. . . . . . . . . 10 |- g e. V
25	23, 24	mulcompi 3818	. . . . . . . . 9 |- (f .N g) = (g .N f)
26		visset 1350	. . . . . . . . . 10 |- h e. V
27	24, 26	mulasspi 3819	. . . . . . . . 9 |- ((f .N g) .N h) = (f .N (g .N h))
28	20, 21, 22, 25, 27	caopr31 3076	. . . . . . . 8 |- ((v .N z) .N u) = ((u .N z) .N v)
29	19, 28	syl5eq 1136	. . . . . . 7 |- ((u .N z) = 1o -> ((v .N z) .N u) = (1o .N v))
30	18, 29	syl5bir 184	. . . . . 6 |- ((v e. N. /\ (u e. N. /\ z e. N.)) -> ((u .N z) = 1o -> [<.(v .N z), 1o>.] ~Q = [<.v, u>.] ~Q ))
31	3	elisseti 1355	. . . . . . . . . 10 |- 1o e. V
32		oprex 3018	. . . . . . . . . 10 |- (u .N z) e. V
33	31, 32	ltmpi 3825	. . . . . . . . 9 |- (v e. N. -> (1o <N (u .N z) <-> (v .N 1o) <N (v .N (u .N z))))
34		oprex 3018	. . . . . . . . . . 11 |- (v .N z) e. V
35	20, 22, 34, 31	ordpipq 3850	. . . . . . . . . 10 |- ([<.v, u>.] ~Q <Q [<.(v .N z), 1o>.] ~Q <-> (v .N 1o) <N (u .N (v .N z)))
36	22, 20, 21, 25, 27	caopr12 3075	. . . . . . . . . . 11 |- (u .N (v .N z)) = (v .N (u .N z))
37	36	breq2i 2069	. . . . . . . . . 10 |- ((v .N 1o) <N (u .N (v .N z)) <-> (v .N 1o) <N (v .N (u .N z)))
38	35, 37	bitr 151	. . . . . . . . 9 |- ([<.v, u>.] ~Q <Q [<.(v .N z), 1o>.] ~Q <-> (v .N 1o) <N (v .N (u .N z)))
39	33, 38	syl6bbr 416	. . . . . . . 8 |- (v e. N. -> (1o <N (u .N z) <-> [<.v, u>.] ~Q <Q [<.(v .N z), 1o>.] ~Q ))
40	39	biimpd 135	. . . . . . 7 |- (v e. N. -> (1o <N (u .N z) -> [<.v, u>.] ~Q <Q [<.(v .N z), 1o>.] ~Q ))
41	40	adantr 306	. . . . . 6 |- ((v e. N. /\ (u e. N. /\ z e. N.)) -> (1o <N (u .N z) -> [<.v, u>.] ~Q <Q [<.(v .N z), 1o>.] ~Q ))
42	30, 41	orim12d 436	. . . . 5 |- ((v e. N. /\ (u e. N. /\ z e. N.)) -> (((u .N z) = 1o \/ 1o <N (u .N z)) -> ([<.(v .N z), 1o>.] ~Q = [<.v, u>.] ~Q \/ [<.v, u>.] ~Q <Q [<.(v .N z), 1o>.] ~Q )))
43	11, 42	mpd 46	. . . 4 |- ((v e. N. /\ (u e. N. /\ z e. N.)) -> ([<.(v .N z), 1o>.] ~Q = [<.v, u>.] ~Q \/ [<.v, u>.] ~Q <Q [<.(v .N z), 1o>.] ~Q ))
44	43	an1s 372	. . 3 |- ((u e. N. /\ (v e. N. /\ z e. N.)) -> ([<.(v .N z), 1o>.] ~Q = [<.v, u>.] ~Q \/ [<.v, u>.] ~Q <Q [<.(v .N z), 1o>.] ~Q ))
45	44	adantlr 310	. 2 |- (((u e. N. /\ w e. N.) /\ (v e. N. /\ z e. N.)) -> ([<.(v .N z), 1o>.] ~Q = [<.v, u>.] ~Q \/ [<.v, u>.] ~Q <Q [<.(v .N z), 1o>.] ~Q ))
46		an42 389	. . . . . . 7 |- (((w e. N. /\ w e. N.) /\ (v e. N. /\ z e. N.)) <-> ((w e. N. /\ v e. N.) /\ (z e. N. /\ w e. N.)))
47		mulpipq 3849	. . . . . . . . 9 |- ((((w .N v) e. N. /\ 1o e. N.) /\ (z e. N. /\ w e. N.)) -> ([<.(w .N v), 1o>.] ~Q .Q [<.z, w>.] ~Q ) = [<.((w .N v) .N z), (1o .N w)>.] ~Q )
48	3, 47	mpan12 530	. . . . . . . 8 |- (((w .N v) e. N. /\ (z e. N. /\ w e. N.)) -> ([<.(w .N v), 1o>.] ~Q .Q [<.z, w>.] ~Q ) = [<.((w .N v) .N z), (1o .N w)>.] ~Q )
49		mulclpi 3815	. . . . . . . 8 |- ((w e. N. /\ v e. N.) -> (w .N v) e. N.)
50	48, 49	sylan 343	. . . . . . 7 |- (((w e. N. /\ v e. N.) /\ (z e. N. /\ w e. N.)) -> ([<.(w .N v), 1o>.] ~Q .Q [<.z, w>.] ~Q ) = [<.((w .N v) .N z), (1o .N w)>.] ~Q )
51	46, 50	sylbi 174	. . . . . 6 |- (((w e. N. /\ w e. N.) /\ (v e. N. /\ z e. N.)) -> ([<.(w .N v), 1o>.] ~Q .Q [<.z, w>.] ~Q ) = [<.((w .N v) .N z), (1o .N w)>.] ~Q )
52	51	anabsan 386	. . . . 5 |- ((w e. N. /\ (v e. N. /\ z e. N.)) -> ([<.(w .N v), 1o>.] ~Q .Q [<.z, w>.] ~Q ) = [<.((w .N v) .N z), (1o .N w)>.] ~Q )
53		visset 1350	. . . . . . . . 9 |- w e. V
54	53, 34, 31	distrpqlem 3860	. . . . . . . 8 |- ((w e. N. /\ (v .N z) e. N. /\ 1o e. N.) -> [<.(w .N (v .N z)), (w .N 1o)>.] ~Q = [<.(v .N z), 1o>.] ~Q )
55	3, 54	mp3an3 641	. . . . . . 7 |- ((w e. N. /\ (v .N z) e. N.) -> [<.(w .N (v .N z)), (w .N