Theorem projlem13 5205

Description: Part of Lemma 3.6 of [Beran] p. 100 (lemma for projection theorem). The infimum of the set of norms is nonnegative. Used by projlem18 5210 projlem19 5211 projlem28 5220.

Hypotheses

Ref	Expression
projlem11.1	|- A e. H~
projlem11.2	|- H e. CH
projlem11.3	|- S = {u e. RR | E.v e. H u = -u(norm` (v -v A))}
projlem11.4	|- R = -usup(S, RR, < )

Assertion

Ref	Expression
projlem13	|- 0 <_ R

Distinct variable group(s):   v,u,A   u,H,v

Proof of Theorem projlem13

Step	Hyp	Ref	Expression
1		projlem11.4	. . . 4 |- R = -usup(S, RR, < )
2		projlem11.1	. . . . . . 7 |- A e. H~
3		projlem11.2	. . . . . . 7 |- H e. CH
4		projlem11.3	. . . . . . 7 |- S = {u e. RR | E.v e. H u = -u(norm` (v -v A))}
5	2, 3, 4	projlem9 5201	. . . . . 6 |- sup(S, RR, < ) e. RR
6	5	recn 4098	. . . . 5 |- sup(S, RR, < ) e. CC
7	2, 3, 4, 1	projlem11 5203	. . . . . 6 |- R e. RR
8	7	recn 4098	. . . . 5 |- R e. CC
9	6, 8	negcon2 4166	. . . 4 |- (sup(S, RR, < ) = -uR <-> R = -usup(S, RR, < ))
10	1, 9	mpbir 165	. . 3 |- sup(S, RR, < ) = -uR
11		ax0re 4063	. . . . . 6 |- 0 e. RR
12	11	renegcl 4171	. . . . 5 |- -u0 e. RR
13	4	eleq2i 1153	. . . . . . . 8 |- (z e. S <-> z e. {u e. RR | E.v e. H u = -u(norm` (v -v A))})
14		cleq1 1107	. . . . . . . . . 10 |- (u = z -> (u = -u(norm` (v -v A)) <-> z = -u(norm` (v -v A))))
15	14	birexdv 1220	. . . . . . . . 9 |- (u = z -> (E.v e. H u = -u(norm` (v -v A)) <-> E.v e. H z = -u(norm` (v -v A))))
16	15	elrab 1422	. . . . . . . 8 |- (z e. {u e. RR | E.v e. H u = -u(norm` (v -v A))} <-> (z e. RR /\ E.v e. H z = -u(norm` (v -v A))))
17	13, 16	bitr 151	. . . . . . 7 |- (z e. S <-> (z e. RR /\ E.v e. H z = -u(norm` (v -v A))))
18		leltt 4278	. . . . . . . . . . . 12 |- ((z e. RR /\ -u0 e. RR) -> (z <_ -u0 <-> -. -u0 < z))
19	12, 18	mpan2 519	. . . . . . . . . . 11 |- (z e. RR -> (z <_ -u0 <-> -. -u0 < z))
20		breq1 2065	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (z = -u(norm` (v -v A)) -> (z <_ -u0 <-> -u(norm` (v -v A)) <_ -u0))
21	3	chel 5137	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (v e. H -> v e. H~)
22	21, 2	jctir 241	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (v e. H -> (v e. H~ /\ A e. H~))
23		hvsubclt 4998	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((v e. H~ /\ A e. H~) -> (v -v A) e. H~)
24		normge0t 5077	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((v -v A) e. H~ -> 0 <_ (norm` (v -v A)))
25	22, 23, 24	3syl 21	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (v e. H -> 0 <_ (norm` (v -v A)))
26		normclt 5076	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((v -v A) e. H~ -> (norm` (v -v A)) e. RR)
27	22, 23, 26	3syl 21	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (v e. H -> (norm` (v -v A)) e. RR)
28	27, 11	jctil 240	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (v e. H -> (0 e. RR /\ (norm` (v -v A)) e. RR))
29		lenegt 4368	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((0 e. RR /\ (norm` (v -v A)) e. RR) -> (0 <_ (norm` (v -v A)) <-> -u(norm` (v -v A)) <_ -u0))
30	28, 29	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (v e. H -> (0 <_ (norm` (v -v A)) <-> -u(norm` (v -v A)) <_ -u0))
31	25, 30	mpbid 170	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (v e. H -> -u(norm` (v -v A)) <_ -u0)
32	20, 31	syl5bir 184	. . . . . . . . . . . . 13 |- (z = -u(norm` (v -v A)) -> (v e. H -> z <_ -u0))
33	32	com12 13	. . . . . . . . . . . 12 |- (v e. H -> (z = -u(norm` (v -v A)) -> z <_ -u0))
34	33	imp 277	. . . . . . . . . . 11 |- ((v e. H /\ z = -u(norm` (v -v A))) -> z <_ -u0)
35	19, 34	syl5bi 183	. . . . . . . . . 10 |- (z e. RR -> ((v e. H /\ z = -u(norm` (v -v A))) -> -. -u0 < z))
36	35	exp3a 292	. . . . . . . . 9 |- (z e. RR -> (v e. H -> (z = -u(norm` (v -v A)) -> -. -u0 < z)))
37	36	r19.23adv 1286	. . . . . . . 8 |- (z e. RR -> (E.v e. H z = -u(norm` (v -v A)) -> -. -u0 < z))
38	37	imp 277	. . . . . . 7 |- ((z e. RR /\ E.v e. H z = -u(norm` (v -v A))) -> -. -u0 < z)
39	17, 38	sylbi 174	. . . . . 6 |- (z e. S -> -. -u0 < z)
40	39	rgen 1247	. . . . 5 |- A.z e. S -. -u0 < z
41		ltso 4279	. . . . . 6 |- < Or RR
42	2, 3, 4	projlem8 5200	. . . . . . 7 |- (S (_ RR /\ -. S = (/) /\ E.x e. RR A.y e. S y <_ x)
43	42	sup3i 4515	. . . . . 6 |- E.x e. RR (A.y e. S -. x < y /\ A.y e. RR (y < x -> E.z e. S y < z))
44	41, 43	supnubi 2167	. . . . 5 |- ((-u0 e. RR /\ A.z e. S -. -u0 < z) -> -. -u0 < sup(S, RR, < ))
45	12, 40, 44	mp2an 520	. . . 4 |- -. -u0 < sup(S, RR, < )
46	5, 12	lelt 4301	. . . 4 |- (sup(S, RR, < ) <_ -u0 <-> -. -u0 < sup(S, RR, < ))
47	45, 46	mpbir 165	. . 3 |- sup(S, RR, < ) <_ -u0
48	10, 47	eqbrtrr 2078	. 2 |- -uR <_ -u0
49	11, 7	leneg 4331	. 2 |- (0 <_ R <-> -uR <_ -u0)
50	48, 49	mpbir 165	1 |- 0 <_ R

Syntax hints:  -. wn 1   <-> wb 127   /\ wa 196   = weq 797   = wceq 1091   e. wcel 1092  A.wral 1201  E.wrex 1202  {crab 1204   class class class wbr 2054  supcsup 2060  ` cfv 2422  (class class class)co 3001  RRcr 4027  0cc0 4028   < clt 4033  -ucneg 4090   <_ cle 4092  H~chil 4958   -v cmv 4962  normcno 4964  CHcch 4968

This theorem is referenced by:  projlem18 5210  projlem19 5211  projlem28 5220

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079  ax-hilex 4983  ax-hvaddcl 4984  ax-hvzercl 4987  ax-hvmulcl 4989  ax-hvmulzer 4995  ax-hicl 5043  ax-his1 5045  ax-his3 5047  ax-his4 5048

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-sup 2154  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-i 4037  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216  df-le 4277  df-sqr 4728  df-re 4790  df-im 4791  df-cj 4792  df-hvsub 4996  df-hnorm 5074  df-sh 5114  df-ch 5127

metamath.org