Theorem projlem27 5219

Description: Part of Lemma 3.6 of [Beran] p. 101. Boundedness to show F is a Cauchy sequence. Used by projlem28 5220.

Hypotheses

Ref	Expression
projlem27.1	|- A e. H~
projlem27.2	|- H e. CH
projlem27.3	|- S = {u e. RR | E.v e. H u = -u(norm` (v -v A))}
projlem27.4	|- R = -usup(S, RR, < )
projlem27.5	|- (ph <-> (F:NN-->H /\ A.w e. NN ((R - (1 / w)) < (norm` ((F` w) -v A)) /\ (norm` ((F` w) -v A)) < (R + (1 / w)))))
projlem27.6	|- N e. NN

Assertion

Ref	Expression
projlem27	|- ((ph /\ (D e. NN /\ G e. NN)) -> ((N <_ D /\ N <_ G) -> (norm` ((F` D) -v (F` G))) < (sqr` ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / N))))

Distinct variable group(s):   v,u,w,A   u,H,v   w,D   w,G   w,F   w,R

Proof of Theorem projlem27

Step	Hyp	Ref	Expression
1		projlem27.1	. . 3 |- A e. H~
2		projlem27.2	. . 3 |- H e. CH
3		projlem27.3	. . 3 |- S = {u e. RR | E.v e. H u = -u(norm` (v -v A))}
4		projlem27.4	. . 3 |- R = -usup(S, RR, < )
5		projlem27.6	. . 3 |- N e. NN
6	1, 2, 3, 4, 5	projlem20 5212	. 2 |- ((((F` D) e. H /\ (F` G) e. H) /\ (D e. NN /\ G e. NN)) -> (((norm` ((F` D) -v A)) < (R + (1 / D)) /\ (norm` ((F` G) -v A)) < (R + (1 / G))) -> ((N <_ D /\ N <_ G) -> (norm` ((F` D) -v (F` G))) < (sqr` ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / N)))))
7		projlem27.5	. . . . 5 |- (ph <-> (F:NN-->H /\ A.w e. NN ((R - (1 / w)) < (norm` ((F` w) -v A)) /\ (norm` ((F` w) -v A)) < (R + (1 / w)))))
8	7	projlem21 5213	. . . 4 |- (ph -> (D e. NN -> (F` D) e. H))
9	7	projlem21 5213	. . . 4 |- (ph -> (G e. NN -> (F` G) e. H))
10	8, 9	anim12d 431	. . 3 |- (ph -> ((D e. NN /\ G e. NN) -> ((F` D) e. H /\ (F` G) e. H)))
11	10	impac 304	. 2 |- ((ph /\ (D e. NN /\ G e. NN)) -> (((F` D) e. H /\ (F` G) e. H) /\ (D e. NN /\ G e. NN)))
12	7	projlem22 5214	. . . 4 |- (ph -> (D e. NN -> (norm` ((F` D) -v A)) < (R + (1 / D))))
13	7	projlem22 5214	. . . 4 |- (ph -> (G e. NN -> (norm` ((F` G) -v A)) < (R + (1 / G))))
14	12, 13	anim12d 431	. . 3 |- (ph -> ((D e. NN /\ G e. NN) -> ((norm` ((F` D) -v A)) < (R + (1 / D)) /\ (norm` ((F` G) -v A)) < (R + (1 / G)))))
15	14	imp 277	. 2 |- ((ph /\ (D e. NN /\ G e. NN)) -> ((norm` ((F` D) -v A)) < (R + (1 / D)) /\ (norm` ((F` G) -v A)) < (R + (1 / G))))
16	6, 11, 15	sylc 62	1 |- ((ph /\ (D e. NN /\ G e. NN)) -> ((N <_ D /\ N <_ G) -> (norm` ((F` D) -v (F` G))) < (sqr` ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / N))))

Syntax hints:   -> wi 2   <-> wb 127   /\ wa 196   = wceq 1091   e. wcel 1092  A.wral 1201  E.wrex 1202  {crab 1204   class class class wbr 2054  supcsup 2060  -->wf 2418  ` cfv 2422  (class class class)co 3001  RRcr 4027  1c1 4029   + caddc 4031   x. cmulc 4032   < clt 4033   - cmin 4089  -ucneg 4090   / cdiv 4091   <_ cle 4092  NNcn 4093  2c2 4454  4c4 4456  sqrcsqr 4727  H~chil 4958   -v cmv 4962  normcno 4964  CHcch 4968

This theorem is referenced by:  projlem28 5220

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079  ax-hilex 4983  ax-hvaddcl 4984  ax-hvcom 4985  ax-hvass 4986  ax-hvzercl 4987  ax-hvaddid 4988  ax-hvmulcl 4989  ax-hvmulid 4991  ax-hvmulass 4992  ax-hvdistr1 4993  ax-hvdistr2 4994  ax-hvmulzer 4995  ax-hicl 5043  ax-his1 5045  ax-his2 5046  ax-his3 5047  ax-his4 5048

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-sup 2154  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1st 3087  df-2nd 3088  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-i 4037  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216  df-le 4277  df-n 4423  df-2 4462  df-3 4463  df-4 4464  df-n0 4535  df-z 4564  df-seq 4661  df-exp 4676  df-sqr 4728  df-re 4790  df-im 4791  df-cj 4792  df-abs 4793  df-hvsub 4996  df-hnorm 5074  df-sh 5114  df-ch 5127

metamath.org