Theorem projlem31 5223

Description: Part of Lemma 3.6 of [Beran] p. 101. The postulated vector sequence F implies our conclusion. By showing such a sequence exists (which was done with the Axiom of Choice in projlem17 5209), we can show the final conclusion, projlem 5224.

Hypotheses

Ref	Expression
projlem27.1	|- A e. H~
projlem27.2	|- H e. CH
projlem27.3	|- S = {u e. RR | E.v e. H u = -u(norm` (v -v A))}
projlem27.4	|- R = -usup(S, RR, < )
projlem27.5	|- (ph <-> (F:NN-->H /\ A.w e. NN ((R - (1 / w)) < (norm` ((F` w) -v A)) /\ (norm` ((F` w) -v A)) < (R + (1 / w)))))
projlem31.6	|- F e. V

Assertion

Ref	Expression
projlem31	|- (ph -> E.x e. H A.y e. H (norm` (x -v A)) <_ (norm` (y -v A)))

Distinct variable group(s):   v,u,x,y,w,A   u,H,v,x   x,F,y,w   x,R,y,w   ph,x,y

Proof of Theorem projlem31

Step	Hyp	Ref	Expression
1		projlem27.1	. . 3 |- A e. H~
2		projlem27.2	. . 3 |- H e. CH
3		projlem27.3	. . 3 |- S = {u e. RR | E.v e. H u = -u(norm` (v -v A))}
4		projlem27.4	. . 3 |- R = -usup(S, RR, < )
5		projlem27.5	. . 3 |- (ph <-> (F:NN-->H /\ A.w e. NN ((R - (1 / w)) < (norm` ((F` w) -v A)) /\ (norm` ((F` w) -v A)) < (R + (1 / w)))))
6	1, 2, 3, 4, 5	projlem30 5222	. 2 |- (ph -> E.x e. H F ~~>v x)
7	1, 2, 3, 4	projlem11 5203	. . . . . . . . . 10 |- R e. RR
8	7	elisseti 1355	. . . . . . . . 9 |- R e. V
9		fvex 2838	. . . . . . . . 9 |- (norm` (x -v A)) e. V
10		nnex 4431	. . . . . . . . . 10 |- NN e. V
11		moeq 1431	. . . . . . . . . . 11 |- E*y y = (norm` ((F` z) -v A))
12	11	a1i 7	. . . . . . . . . 10 |- (z e. NN -> E*y y = (norm` ((F` z) -v A)))
13	10, 12	funopabex 2742	. . . . . . . . 9 |- {<.z, y>. | (z e. NN /\ y = (norm` ((F` z) -v A)))} e. V
14	8, 9, 13	climuni 4884	. . . . . . . 8 |- (({<.z, y>. | (z e. NN /\ y = (norm` ((F` z) -v A)))} ~~> R /\ {<.z, y>. | (z e. NN /\ y = (norm` ((F` z) -v A)))} ~~> (norm` (x -v A))) -> R = (norm` (x -v A)))
15		cleqid 1102	. . . . . . . . 9 |- {<.z, y>. | (z e. NN /\ y = (norm` ((F` z) -v A)))} = {<.z, y>. | (z e. NN /\ y = (norm` ((F` z) -v A)))}
16	1, 2, 3, 4, 5, 15	projlem26 5218	. . . . . . . 8 |- (ph -> {<.z, y>. | (z e. NN /\ y = (norm` ((F` z) -v A)))} ~~> R)
17		projlem31.6	. . . . . . . . 9 |- F e. V
18	15, 1, 17	projlem25 5217	. . . . . . . 8 |- (F ~~>v x -> {<.z, y>. | (z e. NN /\ y = (norm` ((F` z) -v A)))} ~~> (norm` (x -v A)))
19	14, 16, 18	syl2an 349	. . . . . . 7 |- ((ph /\ F ~~>v x) -> R = (norm` (x -v A)))
20	19	breq1d 2071	. . . . . 6 |- ((ph /\ F ~~>v x) -> (R <_ (norm` (y -v A)) <-> (norm` (x -v A)) <_ (norm` (y -v A))))
21	1, 2, 3, 4	projlem12 5204	. . . . . 6 |- (y e. H -> R <_ (norm` (y -v A)))
22	20, 21	syl5bi 183	. . . . 5 |- ((ph /\ F ~~>v x) -> (y e. H -> (norm` (x -v A)) <_ (norm` (y -v A))))
23	22	r19.21aiv 1259	. . . 4 |- ((ph /\ F ~~>v x) -> A.y e. H (norm` (x -v A)) <_ (norm` (y -v A)))
24	23	exp 291	. . 3 |- (ph -> (F ~~>v x -> A.y e. H (norm` (x -v A)) <_ (norm` (y -v A))))
25	24	r19.22sdv 1279	. 2 |- (ph -> (E.x e. H F ~~>v x -> E.x e. H A.y e. H (norm` (x -v A)) <_ (norm` (y -v A))))
26	6, 25	mpd 46	1 |- (ph -> E.x e. H A.y e. H (norm` (x -v A)) <_ (norm` (y -v A)))

Syntax hints:   -> wi 2   <-> wb 127   /\ wa 196  E*wmo 1008   = wceq 1091   e. wcel 1092  A.wral 1201  E.wrex 1202  {crab 1204  Vcvv 1348   class class class wbr 2054  {copab 2055  supcsup 2060  -->wf 2418  ` cfv 2422  (class class class)co 3001  RRcr 4027  1c1 4029   + caddc 4031   < clt 4033   - cmin 4089  -ucneg 4090   / cdiv 4091   <_ cle 4092  NNcn 4093   ~~> cli 4875  H~chil 4958   -v cmv 4962  normcno 4964   ~~>v chli 4966  CHcch 4968

This theorem is referenced by:  projlem 5224

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079  ax-hilex 4983  ax-hvaddcl 4984  ax-hvcom 4985  ax-hvass 4986  ax-hvzercl 4987  ax-hvaddid 4988  ax-hvmulcl 4989  ax-hvmulid 4991  ax-hvmulass 4992  ax-hvdistr1 4993  ax-hvdistr2 4994  ax-hvmulzer 4995  ax-hicl 5043  ax-his1 5045  ax-his2 5046  ax-his3 5047  ax-his4 5048  ax-hcompl 5113

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-sup 2154  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1st 3087  df-2nd 3088  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-i 4037  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216  df-le 4277  df-n 4423  df-2 4462  df-3 4463  df-4 4464  df-n0 4535  df-z 4564  df-seq 4661  df-exp 4676  df-sqr 4728  df-re 4790  df-im 4791  df-cj 4792  df-abs 4793  df-clim 4876  df-hvsub 4996  df-hnorm 5074  df-cauchy 5102  df-hlim 5107  df-sh 5114  df-ch 5127

metamath.org