Theorem pwen 3398

Description: If two sets are equinumerous, then their power sets are equinumerous. Proposition 10.15 of [TakeutiZaring] p. 87.

Hypotheses

Ref	Expression
pwen.1	|- A e. V
pwen.2	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
pwen	|- (A ~~ B -> P~A ~~ P~B)

Proof of Theorem pwen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2o 3110	. . . 4 |- 2o e. On
2		enrefg 3294	. . . 4 |- (2o e. On -> 2o ~~ 2o)
3	1, 2	ax-mp 6	. . 3 |- 2o ~~ 2o
4	1	elisseti 1355	. . . 4 |- 2o e. V
5		pwen.1	. . . 4 |- A e. V
6		pwen.2	. . . 4 |- B e. V
7	4, 4, 5, 6	mapen 3386	. . 3 |- ((2o ~~ 2o /\ A ~~ B) -> (2o ^m A) ~~ (2o ^m B))
8	3, 7	mpan 518	. 2 |- (A ~~ B -> (2o ^m A) ~~ (2o ^m B))
9		oprex 3018	. . . 4 |- (2o ^m A) e. V
10	5	pw2en 3348	. . . 4 |- P~A ~~ (2o ^m A)
11		enen1 3375	. . . 4 |- (((2o ^m A) e. V /\ P~A ~~ (2o ^m A)) -> (P~A ~~ P~B <-> (2o ^m A) ~~ P~B))
12	9, 10, 11	mp2an 520	. . 3 |- (P~A ~~ P~B <-> (2o ^m A) ~~ P~B)
13		oprex 3018	. . . 4 |- (2o ^m B) e. V
14	6	pw2en 3348	. . . 4 |- P~B ~~ (2o ^m B)
15		enen2 3376	. . . 4 |- (((2o ^m B) e. V /\ P~B ~~ (2o ^m B)) -> ((2o ^m A) ~~ P~B <-> (2o ^m A) ~~ (2o ^m B)))
16	13, 14, 15	mp2an 520	. . 3 |- ((2o ^m A) ~~ P~B <-> (2o ^m A) ~~ (2o ^m B))
17	12, 16	bitr2 152	. 2 |- ((2o ^m A) ~~ (2o ^m B) <-> P~A ~~ P~B)
18	8, 17	sylib 173	1 |- (A ~~ B -> P~A ~~ P~B)

Syntax hints:   -> wi 2   <-> wb 127   e. wcel 1092  Vcvv 1348  P~cpw 1798   class class class wbr 2054  Oncon0 2199  (class class class)co 3001  2oc2o 3100   ^m cm 3258   ~~ cen 3271

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-suc 2205  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-2o 3105  df-er 3200  df-map 3259  df-en 3274

metamath.org