Theorem pwex 1806

Description: Power set axiom expressed in class notation. Axiom 4 of [TakeutiZaring] p. 17.

Hypothesis

Ref	Expression
zfpowcl.1	|- A e. V

Assertion

Ref	Expression
pwex	|- P~A e. V

Proof of Theorem pwex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zfpowcl.1	. 2 |- A e. V
2		pweq 1800	. . 3 |- (z = A -> P~z = P~A)
3	2	eleq1d 1155	. 2 |- (z = A -> (P~z e. V <-> P~A e. V))
4		axpow 1082	. . . . . 6 |- E.xA.y(A.x(x e. y -> x e. z) -> y e. x)
5		dfss2 1497	. . . . . . . . 9 |- (y (_ z <-> A.x(x e. y -> x e. z))
6	5	imbi1i 161	. . . . . . . 8 |- ((y (_ z -> y e. x) <-> (A.x(x e. y -> x e. z) -> y e. x))
7	6	bial 695	. . . . . . 7 |- (A.y(y (_ z -> y e. x) <-> A.y(A.x(x e. y -> x e. z) -> y e. x))
8	7	biex 733	. . . . . 6 |- (E.xA.y(y (_ z -> y e. x) <-> E.xA.y(A.x(x e. y -> x e. z) -> y e. x))
9	4, 8	mpbir 165	. . . . 5 |- E.xA.y(y (_ z -> y e. x)
10	9	bm1.3ii 1481	. . . 4 |- E.xA.y(y e. x <-> y (_ z)
11		df-pw 1799	. . . . . . 7 |- P~z = {y | y (_ z}
12	11	cleq2i 1111	. . . . . 6 |- (x = P~z <-> x = {y | y (_ z})
13		cleqab 1174	. . . . . 6 |- (x = {y | y (_ z} <-> A.y(y e. x <-> y (_ z))
14	12, 13	bitr 151	. . . . 5 |- (x = P~z <-> A.y(y e. x <-> y (_ z))
15	14	biex 733	. . . 4 |- (E.x x = P~z <-> E.xA.y(y e. x <-> y (_ z))
16	10, 15	mpbir 165	. . 3 |- E.x x = P~z
17	16	issetri 1353	. 2 |- P~z e. V
18	1, 3, 17	vtocl 1378	1 |- P~A e. V

Syntax hints:   -> wi 2   <-> wb 127  A.wal 672  E.wex 678   e. wel 803  {cab 1090   = wceq 1091   e. wcel 1092  Vcvv 1348   (_ wss 1487  P~cpw 1798

This theorem is referenced by:  pwexg 1807  snex 1859  pp0ex 1886  xpex 2488  pw2en 3348  canth2 3381  ssenen 3399  inf3lem7 3470  r1suc 3496  rankpw 3528  r1pw 3529  rankss 3531  aceq3lem 3555  numthlem 3598  numthcor 3601  aleph1 3676  npex 3885  infxpidmlem9 4941  infmap2lem2 4952  gch-kn 4957  shex 5115  hsupval2t 5301

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349  df-in 1491  df-ss 1492  df-pw 1799

metamath.org