Theorem pwssun 1917

Description: The power class of the union of two classes is a subset of the union of their power classes, iff one class is a subclass of the other. Exercise 4.12(l) of [Mendelson] p. 235.

Assertion

Ref	Expression
pwssun	|- ((A (_ B \/ B (_ A) <-> P~(A u. B) (_ (P~A u. P~B))

Proof of Theorem pwssun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		orcom 209	. . . 4 |- ((A (_ B \/ B (_ A) <-> (B (_ A \/ A (_ B))
2		ssequn2 1631	. . . . . 6 |- (B (_ A <-> (A u. B) = A)
3		pweq 1800	. . . . . . 7 |- ((A u. B) = A -> P~(A u. B) = P~A)
4		eqimss 1548	. . . . . . 7 |- (P~(A u. B) = P~A -> P~(A u. B) (_ P~A)
5	3, 4	syl 12	. . . . . 6 |- ((A u. B) = A -> P~(A u. B) (_ P~A)
6	2, 5	sylbi 174	. . . . 5 |- (B (_ A -> P~(A u. B) (_ P~A)
7		ssequn1 1628	. . . . . 6 |- (A (_ B <-> (A u. B) = B)
8		pweq 1800	. . . . . . 7 |- ((A u. B) = B -> P~(A u. B) = P~B)
9		eqimss 1548	. . . . . . 7 |- (P~(A u. B) = P~B -> P~(A u. B) (_ P~B)
10	8, 9	syl 12	. . . . . 6 |- ((A u. B) = B -> P~(A u. B) (_ P~B)
11	7, 10	sylbi 174	. . . . 5 |- (A (_ B -> P~(A u. B) (_ P~B)
12	6, 11	orim12i 271	. . . 4 |- ((B (_ A \/ A (_ B) -> (P~(A u. B) (_ P~A \/ P~(A u. B) (_ P~B))
13	1, 12	sylbi 174	. . 3 |- ((A (_ B \/ B (_ A) -> (P~(A u. B) (_ P~A \/ P~(A u. B) (_ P~B))
14		ssun 1634	. . 3 |- ((P~(A u. B) (_ P~A \/ P~(A u. B) (_ P~B) -> P~(A u. B) (_ (P~A u. P~B))
15	13, 14	syl 12	. 2 |- ((A (_ B \/ B (_ A) -> P~(A u. B) (_ (P~A u. P~B))
16		ssel 1502	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (P~(A u. B) (_ (P~A u. P~B) -> ({x, y} e. P~(A u. B) -> {x, y} e. (P~A u. P~B)))
17		unss12 1630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (({x} (_ A /\ {y} (_ B) -> ({x} u. {y}) (_ (A u. B))
18		visset 1350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- x e. V
19	18	snss 1849	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (x e. A <-> {x} (_ A)
20		visset 1350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- y e. V
21	20	snss 1849	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (y e. B <-> {y} (_ B)
22	17, 19, 21	syl2anb 350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((x e. A /\ y e. B) -> ({x} u. {y}) (_ (A u. B))
23		zfpair 1891	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- {x, y} e. V
24	23	elpw 1801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ({x, y} e. P~(A u. B) <-> {x, y} (_ (A u. B))
25		df-pr 1812	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- {x, y} = ({x} u. {y})
26	25	sseq1i 1524	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ({x, y} (_ (A u. B) <-> ({x} u. {y}) (_ (A u. B))
27	24, 26	bitr2 152	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (({x} u. {y}) (_ (A u. B) <-> {x, y} e. P~(A u. B))
28	22, 27	sylib 173	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((x e. A /\ y e. B) -> {x, y} e. P~(A u. B))
29	16, 28	syl5 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (P~(A u. B) (_ (P~A u. P~B) -> ((x e. A /\ y e. B) -> {x, y} e. (P~A u. P~B)))
30	29	exp3a 292	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (P~(A u. B) (_ (P~A u. P~B) -> (x e. A -> (y e. B -> {x, y} e. (P~A u. P~B))))
31	30	com23 32	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (P~(A u. B) (_ (P~A u. P~B) -> (y e. B -> (x e. A -> {x, y} e. (P~A u. P~B))))
32	31	imp31 280	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((P~(A u. B) (_ (P~A u. P~B) /\ y e. B) /\ x e. A) -> {x, y} e. (P~A u. P~B))
33		elun 1601	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ({x, y} e. (P~A u. P~B) <-> ({x, y} e. P~A \/ {x, y} e. P~B))
34	32, 33	sylib 173	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((P~(A u. B) (_ (P~A u. P~B) /\ y e. B) /\ x e. A) -> ({x, y} e. P~A \/ {x, y} e. P~B))
35	23	elpw 1801	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ({x, y} e. P~A <-> {x, y} (_ A)
36	18, 20	prss 1854	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((x e. A /\ y e. A) <-> {x, y} (_ A)
37	35, 36	bitr4 154	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ({x, y} e. P~A <-> (x e. A /\ y e. A))
38	37	pm3.27bd 263	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ({x, y} e. P~A -> y e. A)
39	23	elpw 1801	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ({x, y} e. P~B <-> {x, y} (_ B)
40	18, 20	prss 1854	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((x e. B /\ y e. B) <-> {x, y} (_ B)
41	39, 40	bitr4 154	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ({x, y} e. P~B <-> (x e. B /\ y e. B))
42	41	pm3.26bd 259	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ({x, y} e. P~B -> x e. B)
43	38, 42	orim12i 271	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (({x, y} e. P~A \/ {x, y} e. P~B) -> (y e. A \/ x e. B))
44	34, 43	syl 12	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((P~(A u. B) (_ (P~A u. P~B) /\ y e. B) /\ x e. A) -> (y e. A \/ x e. B))
45	44	ord 202	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((P~(A u. B) (_ (P~A u. P~B) /\ y e. B) /\ x e. A) -> (-. y e. A -> x e. B))
46	45	exp 291	. . . . . . . . . . . 12 |- ((P~(A u. B) (_ (P~A u. P~B) /\ y e. B) -> (x e. A -> (-. y e. A -> x e. B)))
47	46	com23 32	. . . . . . . . . . 11 |- ((P~(A u. B) (_ (P~A u. P~B) /\ y e. B) -> (-. y e. A -> (x e. A -> x e. B)))
48	47	imp 277	. . . . . . . . . 10 |- (((P~(A u. B) (_ (P~A u. P~B) /\ y e. B) /\ -. y e. A) -> (x e. A -> x e. B))
49	48	ssrdv 1509	. . . . . . . . 9 |- (((P~(A u. B) (_ (P~A u. P~B) /\ y e. B) /\ -. y e. A) -> A (_ B)
50	49	exp31 293	. . . . . . . 8 |- (P~(A u. B) (_ (P~A u. P~B) -> (y e. B -> (-. y e. A -> A (_ B)))
51		bi2.15 145	. . . . . . . 8 |- ((-. y e. A -> A (_ B) <-> (-. A (_ B -> y e. A))
52	50, 51	syl6ib 185	. . . . . . 7 |- (P~(A u. B) (_ (P~A u. P~B) -> (y e. B -> (-. A (_ B -> y e. A)))
53	52	com23 32	. . . . . 6 |- (P~(A u. B) (_ (P~A u. P~B) -> (-. A (_ B -> (y e. B -> y e. A)))
54	53	imp 277	. . . . 5 |- ((P~(A u. B) (_ (P~A u. P~B) /\ -. A (_ B) -> (y e. B -> y e. A))
55	54	ssrdv 1509	. . . 4 |- ((P~(A u. B) (_ (P~A u. P~B) /\ -. A (_ B) -> B (_ A)
56	55	exp 291	. . 3 |- (P~(A u. B) (_ (P~A u. P~B) -> (-. A (_ B -> B (_ A))
57	56	orrd 203	. 2 |- (P~(A u. B) (_ (P~A u. P~B) -> (A (_ B \/ B (_ A))
58	15, 57	impbi 139	1 |- ((A (_ B \/ B (_ A) <-> P~(A u. B) (_ (P~A u. P~B))

Syntax hints:  -. wn 1   -> wi 2   <-> wb 127   \/ wo 195   /\ wa 196   = wceq 1091   e. wcel 1092   u. cun 1485   (_ wss 1487  P~cpw 1798  {csn 1808  {cpr 1809

This theorem is referenced by:  pwun 1918

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812

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