Theorem qnegclt 4643

Description: Closure law for the negative of a rational.

Assertion

Ref	Expression
qnegclt	|- (A e. QQ -> -uA e. QQ)

Proof of Theorem qnegclt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elq 4629	. 2 |- (A e. QQ <-> E.x e. ZZ E.y e. NN A = (x / y))
2		znegclt 4588	. . . . . . 7 |- (x e. ZZ -> -ux e. ZZ)
3	2	anim1i 269	. . . . . 6 |- ((x e. ZZ /\ y e. NN) -> (-ux e. ZZ /\ y e. NN))
4	3	a1d 14	. . . . 5 |- ((x e. ZZ /\ y e. NN) -> (A = (x / y) -> (-ux e. ZZ /\ y e. NN)))
5		divnegt 4259	. . . . . . . . 9 |- (((x e. CC /\ y e. CC) /\ y =/= 0) -> -u(x / y) = (-ux / y))
6	5	anasss 337	. . . . . . . 8 |- ((x e. CC /\ (y e. CC /\ y =/= 0)) -> -u(x / y) = (-ux / y))
7		zcnt 4568	. . . . . . . 8 |- (x e. ZZ -> x e. CC)
8		nncnt 4428	. . . . . . . . 9 |- (y e. NN -> y e. CC)
9		nnne0t 4444	. . . . . . . . 9 |- (y e. NN -> y =/= 0)
10	8, 9	jca 236	. . . . . . . 8 |- (y e. NN -> (y e. CC /\ y =/= 0))
11	6, 7, 10	syl2an 349	. . . . . . 7 |- ((x e. ZZ /\ y e. NN) -> -u(x / y) = (-ux / y))
12	11	cleq2d 1112	. . . . . 6 |- ((x e. ZZ /\ y e. NN) -> (-uA = -u(x / y) <-> -uA = (-ux / y)))
13		negeq 4136	. . . . . 6 |- (A = (x / y) -> -uA = -u(x / y))
14	12, 13	syl5bi 183	. . . . 5 |- ((x e. ZZ /\ y e. NN) -> (A = (x / y) -> -uA = (-ux / y)))
15	4, 14	jcad 455	. . . 4 |- ((x e. ZZ /\ y e. NN) -> (A = (x / y) -> ((-ux e. ZZ /\ y e. NN) /\ -uA = (-ux / y))))
16		opreq1 3006	. . . . . . 7 |- (z = -ux -> (z / w) = (-ux / w))
17	16	cleq2d 1112	. . . . . 6 |- (z = -ux -> (-uA = (z / w) <-> -uA = (-ux / w)))
18		opreq2 3007	. . . . . . 7 |- (w = y -> (-ux / w) = (-ux / y))
19	18	cleq2d 1112	. . . . . 6 |- (w = y -> (-uA = (-ux / w) <-> -uA = (-ux / y)))
20	17, 19	rcla42ev 1405	. . . . 5 |- (((-ux e. ZZ /\ y e. NN) /\ -uA = (-ux / y)) -> E.z e. ZZ E.w e. NN -uA = (z / w))
21		elq 4629	. . . . 5 |- (-uA e. QQ <-> E.z e. ZZ E.w e. NN -uA = (z / w))
22	20, 21	sylibr 175	. . . 4 |- (((-ux e. ZZ /\ y e. NN) /\ -uA = (-ux / y)) -> -uA e. QQ)
23	15, 22	syl6 23	. . 3 |- ((x e. ZZ /\ y e. NN) -> (A = (x / y) -> -uA e. QQ))
24	23	r19.23aivv 1287	. 2 |- (E.x e. ZZ E.y e. NN A = (x / y) -> -uA e. QQ)
25	1, 24	sylbi 174	1 |- (A e. QQ -> -uA e. QQ)

Syntax hints:   -> wi 2   /\ wa 196   = weq 797   = wceq 1091   e. wcel 1092   =/= wne 1190  E.wrex 1202  (class class class)co 3001  CCcc 4026  0cc0 4028  -ucneg 4090   / cdiv 4091  NNcn 4093  ZZcz 4095  QQcq 4096

This theorem is referenced by:  qsubclt 4645

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216  df-le 4277  df-n 4423  df-z 4564  df-q 4628

metamath.org