Theorem rankun 3535

Description: The rank of the union of two sets. Theorem 15.17(iii) of [Monk1] p. 112.

Hypotheses

Ref	Expression
rankun.1	|- A e. V
rankun.2	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
rankun	|- (rank` (A u. B)) = ((rank` A) u. (rank` B))

Proof of Theorem rankun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rankun.1	. . . . . . . 8 |- A e. V
2		rankun.2	. . . . . . . 8 |- B e. V
3	1, 2	unex 1949	. . . . . . 7 |- (A u. B) e. V
4	3	rankval3 3525	. . . . . 6 |- (rank` (A u. B)) = |^|{y e. On | A.z e. (A u. B)(rank` z) e. y}
5	4	eleq2i 1153	. . . . 5 |- (x e. (rank` (A u. B)) <-> x e. |^|{y e. On | A.z e. (A u. B)(rank` z) e. y})
6		visset 1350	. . . . . 6 |- x e. V
7	6	elintrab 1977	. . . . 5 |- (x e. |^|{y e. On | A.z e. (A u. B)(rank` z) e. y} <-> A.y e. On (A.z e. (A u. B)(rank` z) e. y -> x e. y))
8	5, 7	bitr 151	. . . 4 |- (x e. (rank` (A u. B)) <-> A.y e. On (A.z e. (A u. B)(rank` z) e. y -> x e. y))
9		elun 1601	. . . . . . 7 |- (z e. (A u. B) <-> (z e. A \/ z e. B))
10	1	rankel 3524	. . . . . . . . 9 |- (z e. A -> (rank` z) e. (rank` A))
11		elun1 1625	. . . . . . . . 9 |- ((rank` z) e. (rank` A) -> (rank` z) e. ((rank` A) u. (rank` B)))
12	10, 11	syl 12	. . . . . . . 8 |- (z e. A -> (rank` z) e. ((rank` A) u. (rank` B)))
13	2	rankel 3524	. . . . . . . . 9 |- (z e. B -> (rank` z) e. (rank` B))
14		elun2 1626	. . . . . . . . 9 |- ((rank` z) e. (rank` B) -> (rank` z) e. ((rank` A) u. (rank` B)))
15	13, 14	syl 12	. . . . . . . 8 |- (z e. B -> (rank` z) e. ((rank` A) u. (rank` B)))
16	12, 15	jaoi 275	. . . . . . 7 |- ((z e. A \/ z e. B) -> (rank` z) e. ((rank` A) u. (rank` B)))
17	9, 16	sylbi 174	. . . . . 6 |- (z e. (A u. B) -> (rank` z) e. ((rank` A) u. (rank` B)))
18	17	rgen 1247	. . . . 5 |- A.z e. (A u. B)(rank` z) e. ((rank` A) u. (rank` B))
19		rankon 3515	. . . . . . 7 |- (rank` A) e. On
20		rankon 3515	. . . . . . 7 |- (rank` B) e. On
21	19, 20	onun 2358	. . . . . 6 |- ((rank` A) u. (rank` B)) e. On
22		eleq2 1150	. . . . . . . . 9 |- (y = ((rank` A) u. (rank` B)) -> ((rank` z) e. y <-> (rank` z) e. ((rank` A) u. (rank` B))))
23	22	biraldv 1219	. . . . . . . 8 |- (y = ((rank` A) u. (rank` B)) -> (A.z e. (A u. B)(rank` z) e. y <-> A.z e. (A u. B)(rank` z) e. ((rank` A) u. (rank` B))))
24		eleq2 1150	. . . . . . . 8 |- (y = ((rank` A) u. (rank` B)) -> (x e. y <-> x e. ((rank` A) u. (rank` B))))
25	23, 24	imbi12d 474	. . . . . . 7 |- (y = ((rank` A) u. (rank` B)) -> ((A.z e. (A u. B)(rank` z) e. y -> x e. y) <-> (A.z e. (A u. B)(rank` z) e. ((rank` A) u. (rank` B)) -> x e. ((rank` A) u. (rank` B)))))
26	25	rcla4v 1402	. . . . . 6 |- (A.y e. On (A.z e. (A u. B)(rank` z) e. y -> x e. y) -> (((rank` A) u. (rank` B)) e. On -> (A.z e. (A u. B)(rank` z) e. ((rank` A) u. (rank` B)) -> x e. ((rank` A) u. (rank` B)))))
27	21, 26	mpi 44	. . . . 5 |- (A.y e. On (A.z e. (A u. B)(rank` z) e. y -> x e. y) -> (A.z e. (A u. B)(rank` z) e. ((rank` A) u. (rank` B)) -> x e. ((rank` A) u. (rank` B))))
28	18, 27	mpi 44	. . . 4 |- (A.y e. On (A.z e. (A u. B)(rank` z) e. y -> x e. y) -> x e. ((rank` A) u. (rank` B)))
29	8, 28	sylbi 174	. . 3 |- (x e. (rank` (A u. B)) -> x e. ((rank` A) u. (rank` B)))
30	29	ssriv 1508	. 2 |- (rank` (A u. B)) (_ ((rank` A) u. (rank` B))
31		ssun1 1621	. . . 4 |- A (_ (A u. B)
32	3	rankss 3531	. . . 4 |- (A (_ (A u. B) -> (rank` A) (_ (rank` (A u. B)))
33	31, 32	ax-mp 6	. . 3 |- (rank` A) (_ (rank` (A u. B))
34		ssun2 1622	. . . 4 |- B (_ (A u. B)
35	3	rankss 3531	. . . 4 |- (B (_ (A u. B) -> (rank` B) (_ (rank` (A u. B)))
36	34, 35	ax-mp 6	. . 3 |- (rank` B) (_ (rank` (A u. B))
37	33, 36	unssi 1633	. 2 |- ((rank` A) u. (rank` B)) (_ (rank` (A u. B))
38	30, 37	eqssi 1517	1 |- (rank` (A u. B)) = ((rank` A) u. (rank` B))

Syntax hints:   -> wi 2   \/ wo 195   e. wel 803   = wceq 1091   e. wcel 1092  A.wral 1201  {crab 1204  Vcvv 1348   u. cun 1485   (_ wss 1487  |^|cint 1965  Oncon0 2199  ` cfv 2422  rankcrnk 3486

This theorem is referenced by:  rankpr 3536

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-r1 3487  df-rank 3488

metamath.org