Theorem readdcl 4118

Description: Closure law for addition of reals.

Hypotheses

Ref	Expression
axri.1	|- A e. RR
axri.2	|- B e. RR

Assertion

Ref	Expression
readdcl	|- (A + B) e. RR

Proof of Theorem readdcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axri.1	. 2 |- A e. RR
2		axri.2	. 2 |- B e. RR
3		axaddrcl 4067	. 2 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (A + B) e. RR)
4	1, 2, 3	mp2an 520	1 |- (A + B) e. RR

Syntax hints:   e. wcel 1092  (class class class)co 3001  RRcr 4027   + caddc 4031

This theorem is referenced by:  ltadd2 4312  leadd1 4314  ltsubadd 4316  lesubadd2 4318  ltaddsub 4320  lt2add 4321  le2add 4322  addgt0 4323  addge0 4324  add20 4329  ltneg 4330  eqneg 4378  halfpos 4421  posex 4422  nnaddm1clt 4452  2re 4470  3re 4472  4re 4473  5re 4474  6re 4475  7re 4476  8re 4477  9re 4478  crulem 4528  nn0ltp1let 4556  discrlem1 4713  discrlem3 4715  nneo 4719  nnesq 4720  nn0opthlem2 4723  nn0opth 4724  sqrlem1 4731  sqrlem2 4732  sqrlem3 4733  sqrlem6 4736  sqrlem8 4738  sqrlem9 4739  sqrlem10 4740  sqrlem11 4741  sqrlem16 4746  sqrlem17 4747  sqrlem19 4749  sqrlem20 4750  sqrlem21 4751  sqrlem22 4752  readd 4814  imadd 4815  remul 4816  immul 4817  cjmul 4819  abs00 4839  abstri 4859  abs3lem 4861  ruclem1 4885  ruclem2 4886  ruclem3 4887  ruclem13 4897  ruclem26 4910  norm-ii 5086  norm3lem 5096  normpar2 5100  projlem1 5193  projlem2 5194  projlem3 5195  projlem4 5196  projlem5 5197  projlem6 5198  projlem15 5207  projlem28 5220  stadd 5687  stadd3 5689

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-0r 3965  df-c 4034  df-r 4038  df-plus 4039

metamath.org