Theorem recgt0i 4385

Description: The reciprocal of a positive number is positive. Exercise 4 of [Apostol] p. 21.

Hypotheses

Ref	Expression
ltplus1.1	|- A e. RR
recgt0i.2	|- 0 < A

Assertion

Ref	Expression
recgt0i	|- 0 < (1 / A)

Proof of Theorem recgt0i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1cn 4101	. . . . . 6 |- 1 e. CC
2		ltplus1.1	. . . . . . 7 |- A e. RR
3	2	recn 4098	. . . . . 6 |- A e. CC
4		ax1ne0 4075	. . . . . 6 |- 1 =/= 0
5		recgt0i.2	. . . . . . 7 |- 0 < A
6	2, 5	gt0ne0i 4345	. . . . . 6 |- A =/= 0
7	1, 3, 4, 6	divneq0 4231	. . . . 5 |- (1 / A) =/= 0
8		necom 1198	. . . . 5 |- ((1 / A) =/= 0 <-> 0 =/= (1 / A))
9	7, 8	mpbi 164	. . . 4 |- 0 =/= (1 / A)
10		df-ne 1192	. . . 4 |- (0 =/= (1 / A) <-> -. 0 = (1 / A))
11	9, 10	mpbi 164	. . 3 |- -. 0 = (1 / A)
12		lt01 4377	. . . . 5 |- 0 < 1
13		ax0re 4063	. . . . . 6 |- 0 e. RR
14		ax1re 4064	. . . . . 6 |- 1 e. RR
15	13, 14	ltnsym 4300	. . . . 5 |- (0 < 1 -> -. 1 < 0)
16	12, 15	ax-mp 6	. . . 4 |- -. 1 < 0
17	14, 2, 6	redivcl 4274	. . . . . . . . 9 |- (1 / A) e. RR
18	17	renegcl 4171	. . . . . . . 8 |- -u(1 / A) e. RR
19	18, 2	mulgt0 4334	. . . . . . 7 |- ((0 < -u(1 / A) /\ 0 < A) -> 0 < (-u(1 / A) x. A))
20	5, 19	mpan2 519	. . . . . 6 |- (0 < -u(1 / A) -> 0 < (-u(1 / A) x. A))
21	17	recn 4098	. . . . . . . 8 |- (1 / A) e. CC
22	21, 3	mulneg1 4190	. . . . . . 7 |- (-u(1 / A) x. A) = -u((1 / A) x. A)
23	21, 3	mulcom 4107	. . . . . . . . 9 |- ((1 / A) x. A) = (A x. (1 / A))
24	3, 6	recid 4233	. . . . . . . . 9 |- (A x. (1 / A)) = 1
25	23, 24	eqtr 1119	. . . . . . . 8 |- ((1 / A) x. A) = 1
26	25	negeqi 4137	. . . . . . 7 |- -u((1 / A) x. A) = -u1
27	22, 26	eqtr 1119	. . . . . 6 |- (-u(1 / A) x. A) = -u1
28	20, 27	syl6breq 2093	. . . . 5 |- (0 < -u(1 / A) -> 0 < -u1)
29		lt0neg1t 4370	. . . . . 6 |- ((1 / A) e. RR -> ((1 / A) < 0 <-> 0 < -u(1 / A)))
30	17, 29	ax-mp 6	. . . . 5 |- ((1 / A) < 0 <-> 0 < -u(1 / A))
31		lt0neg1t 4370	. . . . . 6 |- (1 e. RR -> (1 < 0 <-> 0 < -u1))
32	14, 31	ax-mp 6	. . . . 5 |- (1 < 0 <-> 0 < -u1)
33	28, 30, 32	3imtr4 192	. . . 4 |- ((1 / A) < 0 -> 1 < 0)
34	16, 33	mto 93	. . 3 |- -. (1 / A) < 0
35	11, 34	pm3.2ni 440	. 2 |- -. (0 = (1 / A) \/ (1 / A) < 0)
36		axlttri 4083	. . 3 |- ((0 e. RR /\ (1 / A) e. RR) -> (0 < (1 / A) <-> -. (0 = (1 / A) \/ (1 / A) < 0)))
37	13, 17, 36	mp2an 520	. 2 |- (0 < (1 / A) <-> -. (0 = (1 / A) \/ (1 / A) < 0))
38	35, 37	mpbir 165	1 |- 0 < (1 / A)

Syntax hints:  -. wn 1   <-> wb 127   \/ wo 195   = wceq 1091   e. wcel 1092   =/= wne 1190   class class class wbr 2054  (class class class)co 3001  RRcr 4027  0cc0 4028  1c1 4029   x. cmulc 4032   < clt 4033  -ucneg 4090   / cdiv 4091

This theorem is referenced by:  recgt0 4386  prodgt0i 4387  divgt0lem 4389  ltmul1i 4393  ltdivi 4398  halfnz 4586  projlem7 5199

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216

metamath.org