Theorem reclem4pr 3953

Description: Lemma for Proposition 9-3.7(v) of [Gleason] p. 124.

Hypothesis

Ref	Expression
reclempr.1	|- B = {x | E.y(x <Q y /\ -. (*Q` y) e. A)}

Assertion

Ref	Expression
reclem4pr	|- (A e. P. -> (A .P B) = 1P)

Distinct variable group(s):   x,y,A   x,B

Proof of Theorem reclem4pr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reclempr.1	. . . . . . 7 |- B = {x | E.y(x <Q y /\ -. (*Q` y) e. A)}
2	1	reclem2pr 3951	. . . . . 6 |- (A e. P. -> B e. P.)
3		df-mp 3883	. . . . . . 7 |- .P = {<.<.y, w>., v>. | ((y e. P. /\ w e. P.) /\ v = {u | E.f e. y E.g e. w u = (f .Q g)})}
4		visset 1350	. . . . . . 7 |- w e. V
5	3, 4	genpelv 3897	. . . . . 6 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (w e. (A .P B) <-> E.zE.x((z e. A /\ x e. B) /\ w = (z .Q x))))
6	2, 5	mpdan 527	. . . . 5 |- (A e. P. -> (w e. (A .P B) <-> E.zE.x((z e. A /\ x e. B) /\ w = (z .Q x))))
7		elprpq 3889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((A e. P. /\ z e. A) -> z e. Q.)
8		visset 1350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- x e. V
9		visset 1350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- y e. V
10	8, 9	ltmpq 3871	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (z e. Q. -> (x <Q y <-> (z .Q x) <Q (z .Q y)))
11	7, 10	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((A e. P. /\ z e. A) -> (x <Q y <-> (z .Q x) <Q (z .Q y)))
12	11	biimpd 135	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((A e. P. /\ z e. A) -> (x <Q y -> (z .Q x) <Q (z .Q y)))
13	12	adantr 306	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((A e. P. /\ z e. A) /\ y e. Q.) -> (x <Q y -> (z .Q x) <Q (z .Q y)))
14		prub 3892	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (((A e. P. /\ z e. A) /\ (*Q` y) e. Q.) -> (-. (*Q` y) e. A -> z <Q (*Q` y)))
15		recclpq 3866	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (y e. Q. -> (*Q` y) e. Q.)
16	14, 15	sylan2 346	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((A e. P. /\ z e. A) /\ y e. Q.) -> (-. (*Q` y) e. A -> z <Q (*Q` y)))
17		visset 1350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- z e. V
18		fvex 2838	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (*Q` y) e. V
19	17, 18	ltmpq 3871	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (y e. Q. -> (z <Q (*Q` y) <-> (y .Q z) <Q (y .Q (*Q` y))))
20	9, 17	mulcompq 3858	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (y .Q z) = (z .Q y)
21	20	a1i 7	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (y e. Q. -> (y .Q z) = (z .Q y))
22		recidpq 3865	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (y e. Q. -> (y .Q (*Q` y)) = 1Q)
23	21, 22	breq12d 2073	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (y e. Q. -> ((y .Q z) <Q (y .Q (*Q` y)) <-> (z .Q y) <Q 1Q))
24	19, 23	bitrd 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (y e. Q. -> (z <Q (*Q` y) <-> (z .Q y) <Q 1Q))
25	24	adantl 305	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((A e. P. /\ z e. A) /\ y e. Q.) -> (z <Q (*Q` y) <-> (z .Q y) <Q 1Q))
26	16, 25	sylibd 177	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((A e. P. /\ z e. A) /\ y e. Q.) -> (-. (*Q` y) e. A -> (z .Q y) <Q 1Q))
27	13, 26	anim12d 431	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((A e. P. /\ z e. A) /\ y e. Q.) -> ((x <Q y /\ -. (*Q` y) e. A) -> ((z .Q x) <Q (z .Q y) /\ (z .Q y) <Q 1Q)))
28		oprex 3018	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (z .Q x) e. V
29		ltsopq 3869	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- <Q Or Q.
30		ltrelpq 3845	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- <Q (_ (Q. X. Q.)
31		oprex 3018	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (z .Q y) e. V
32		1q 3851	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 1Q e. Q.
33	32	elisseti 1355	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 1Q e. V
34	28, 29, 30, 31, 33	sotri 2630	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((z .Q x) <Q (z .Q y) /\ (z .Q y) <Q 1Q) -> (z .Q x) <Q 1Q)
35	27, 34	syl6 23	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((A e. P. /\ z e. A) /\ y e. Q.) -> ((x <Q y /\ -. (*Q` y) e. A) -> (z .Q x) <Q 1Q))
36	35	exp4b 296	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((A e. P. /\ z e. A) -> (y e. Q. -> (x <Q y -> (-. (*Q` y) e. A -> (z .Q x) <Q 1Q))))
37	9, 30	brel 2459	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (x <Q y -> (x e. Q. /\ y e. Q.))
38	37	pm3.27d 262	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (x <Q y -> y e. Q.)
39	36, 38	syl5 22	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((A e. P. /\ z e. A) -> (x <Q y -> (x <Q y -> (-. (*Q` y) e. A -> (z .Q x) <Q 1Q))))
40	39	pm2.43d 59	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A e. P. /\ z e. A) -> (x <Q y -> (-. (*Q` y) e. A -> (z .Q x) <Q 1Q)))
41	40	imp3a 279	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. P. /\ z e. A) -> ((x <Q y /\ -. (*Q` y) e. A) -> (z .Q x) <Q 1Q))
42	41	19.23adv 954	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. P. /\ z e. A) -> (E.y(x <Q y /\ -. (*Q` y) e. A) -> (z .Q x) <Q 1Q))
43	1	cleqabi 1176	. . . . . . . . . 10 |- (x e. B <-> E.y(x <Q y /\ -. (*Q` y) e. A))
44	42, 43	syl5ib 181	. . . . . . . . 9 |- ((A e. P. /\ z e. A) -> (x e. B -> (z .Q x) <Q 1Q))
45		breq1 2065	. . . . . . . . . 10 |- (w = (z .Q x) -> (w <Q 1Q <-> (z .Q x) <Q 1Q))
46	45	biimprcd 138	. . . . . . . . 9 |- ((z .Q x) <Q 1Q -> (w = (z .Q x) -> w <Q 1Q))
47	44, 46	syl6 23	. . . . . . . 8 |- ((A e. P. /\ z e. A) -> (x e. B -> (w = (z .Q x) -> w <Q 1Q)))
48	47	exp 291	. . . . . . 7 |- (A e. P. -> (z e. A -> (x e. B -> (w = (z .Q x) -> w <Q 1Q))))
49	48	imp4c 284	. . . . . 6 |- (A e. P. -> (((z e. A /\ x e. B) /\ w = (z .Q x)) -> w <Q 1Q))
50	49	19.23advv 955	. . . . 5 |- (A e. P. -> (E.zE.x((z e. A /\ x e. B) /\ w = (z .Q x)) -> w <Q 1Q))
51	6, 50	sylbid 178	. . . 4 |- (A e. P. -> (w e. (A .P B) -> w <Q 1Q))
52		df-1p 3881	. . . . 5 |- 1P = {w | w <Q 1Q}
53	52	cleqabi 1176	. . . 4 |- (w e. 1P <-> w <Q 1Q)
54	51, 53	syl6ibr 186	. . 3 |- (A e. P. -> (w e. (A .P B) -> w e. 1P))
55	54	ssrdv 1509	. 2 |- (A e. P. -> (A .P B) (_ 1P)
56	1	reclem3pr 3952	. 2 |- (A e. P. -> 1P (_ (A .P B))
57	55, 56	eqssd 1518	1 |- (A e. P. -> (A .P B) = 1P)

Syntax hints:  -. wn 1   -> wi 2   <-> wb 127   /\ wa 196  E.wex 678  {cab 1090   = wceq 1091   e. wcel 1092   class class class wbr 2054  ` cfv 2422  (class class class)co 3001  Q.cnq 3773  1Qc1q 3774   .Q cmq 3776  *Qcrq 3777   <Q cltq 3778  P.cnp 3779  1Pc1p 3780   .P cmp 3782

This theorem is referenced by:  recexpr 3954

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-mp 3883

metamath.org