Theorem reldm0 2550

Description: A relation is empty iff its domain is empty.

Assertion

Ref	Expression
reldm0	|- (Rel A -> (A = (/) <-> dom A = (/)))

Proof of Theorem reldm0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rel0 2499	. . 3 |- Rel (/)
2		cleqrel 2483	. . 3 |- ((Rel A /\ Rel (/)) -> (A = (/) <-> A.xA.y(<.x, y>. e. A <-> <.x, y>. e. (/))))
3	1, 2	mpan2 519	. 2 |- (Rel A -> (A = (/) <-> A.xA.y(<.x, y>. e. A <-> <.x, y>. e. (/))))
4		eq0 1719	. . 3 |- (dom A = (/) <-> A.x -. x e. dom A)
5		visset 1350	. . . . . . 7 |- x e. V
6	5	eldm2 2528	. . . . . 6 |- (x e. dom A <-> E.y<.x, y>. e. A)
7	6	negbii 162	. . . . 5 |- (-. x e. dom A <-> -. E.y<.x, y>. e. A)
8		alnex 716	. . . . . 6 |- (A.y -. <.x, y>. e. A <-> -. E.y<.x, y>. e. A)
9		noel 1711	. . . . . . . 8 |- -. <.x, y>. e. (/)
10	9	nbn 542	. . . . . . 7 |- (-. <.x, y>. e. A <-> (<.x, y>. e. A <-> <.x, y>. e. (/)))
11	10	bial 695	. . . . . 6 |- (A.y -. <.x, y>. e. A <-> A.y(<.x, y>. e. A <-> <.x, y>. e. (/)))
12	8, 11	bitr3 153	. . . . 5 |- (-. E.y<.x, y>. e. A <-> A.y(<.x, y>. e. A <-> <.x, y>. e. (/)))
13	7, 12	bitr 151	. . . 4 |- (-. x e. dom A <-> A.y(<.x, y>. e. A <-> <.x, y>. e. (/)))
14	13	bial 695	. . 3 |- (A.x -. x e. dom A <-> A.xA.y(<.x, y>. e. A <-> <.x, y>. e. (/)))
15	4, 14	bitr2 152	. 2 |- (A.xA.y(<.x, y>. e. A <-> <.x, y>. e. (/)) <-> dom A = (/))
16	3, 15	syl6bb 414	1 |- (Rel A -> (A = (/) <-> dom A = (/)))

Syntax hints:  -. wn 1   -> wi 2   <-> wb 127  A.wal 672  E.wex 678   = wceq 1091   e. wcel 1092  (/)c0 1707  <.cop 1810  dom cdm 2410  Rel wrel 2415

This theorem is referenced by:  relrn0 2568  fnresdisj 2732  mapdom2lem 3388

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-br 2063  df-opab 2098  df-xp 2424  df-rel 2425  df-dm 2428

metamath.org