Theorem reldom 3278

Description: Dominance is a relation.

Assertion

Ref	Expression
reldom	|- Rel ~<_

Proof of Theorem reldom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relopab 2494	. 2 |- Rel {<.x, y>. | E.f f:x-1-1->y}
2		df-dom 3275	. . 3 |- ~<_ = {<.x, y>. | E.f f:x-1-1->y}
3		releq 2477	. . 3 |- ( ~<_ = {<.x, y>. | E.f f:x-1-1->y} -> (Rel ~<_ <-> Rel {<.x, y>. | E.f f:x-1-1->y}))
4	2, 3	ax-mp 6	. 2 |- (Rel ~<_ <-> Rel {<.x, y>. | E.f f:x-1-1->y})
5	1, 4	mpbir 165	1 |- Rel ~<_

Syntax hints:   <-> wb 127  E.wex 678   = wceq 1091  {copab 2055  Rel wrel 2415  -1-1->wf1 2419   ~<_ cdom 3272

This theorem is referenced by:  relsdom 3279  brdomg 3281  domtr 3320  sbth 3359  sbthcl 3361  infsdomnn 3426  alephsucdom 3685

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-opab 2098  df-xp 2424  df-rel 2425  df-dom 3275

metamath.org