Theorem relsn 2485

Description: A singleton of an ordered pair is a relation.

Hypothesis

Ref	Expression
relsn.1	|- A e. V

Assertion

Ref	Expression
relsn	|- Rel {<.A, B>.}

Proof of Theorem relsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relsn.1	. . . . 5 |- A e. V
2		opelxpi 2455	. . . . 5 |- ((A e. V /\ B e. V) -> <.A, B>. e. (V X. V))
3	1, 2	mpan 518	. . . 4 |- (B e. V -> <.A, B>. e. (V X. V))
4	1, 1	pm3.2i 234	. . . . . 6 |- (A e. V /\ A e. V)
5	1	opelxp 2452	. . . . . 6 |- (<.A, A>. e. (V X. V) <-> (A e. V /\ A e. V))
6	4, 5	mpbir 165	. . . . 5 |- <.A, A>. e. (V X. V)
7		opprc2 1907	. . . . . 6 |- (-. B e. V -> <.A, B>. = <.A, A>.)
8	7	eleq1d 1155	. . . . 5 |- (-. B e. V -> (<.A, B>. e. (V X. V) <-> <.A, A>. e. (V X. V)))
9	6, 8	mpbiri 169	. . . 4 |- (-. B e. V -> <.A, B>. e. (V X. V))
10	3, 9	pm2.61i 110	. . 3 |- <.A, B>. e. (V X. V)
11		snssi 1851	. . 3 |- (<.A, B>. e. (V X. V) -> {<.A, B>.} (_ (V X. V))
12	10, 11	ax-mp 6	. 2 |- {<.A, B>.} (_ (V X. V)
13		df-rel 2425	. 2 |- (Rel {<.A, B>.} <-> {<.A, B>.} (_ (V X. V))
14	12, 13	mpbir 165	1 |- Rel {<.A, B>.}

Syntax hints:  -. wn 1   /\ wa 196   e. wcel 1092  Vcvv 1348   (_ wss 1487  {csn 1808  <.cop 1810   X. cxp 2408  Rel wrel 2415

This theorem is referenced by:  cnvsn 2636  funsn 2690  fsn 2895  fac0 4871

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-opab 2098  df-xp 2424  df-rel 2425

metamath.org