Theorem relss 2480

Description: A subclass relationship depends only on a relation's ordered pairs. Theorem 3.2(i) of [Monk1] p. 33.

Assertion

Ref	Expression
relss	|- (Rel A -> (A (_ B <-> A.xA.y(<.x, y>. e. A -> <.x, y>. e. B)))

Distinct variable group(s):   x,y,A   x,B,y

Proof of Theorem relss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 1502	. . . . 5 |- (A (_ B -> (<.x, y>. e. A -> <.x, y>. e. B))
2	1	a1i 7	. . . 4 |- (Rel A -> (A (_ B -> (<.x, y>. e. A -> <.x, y>. e. B)))
3	2	19.21adv 945	. . 3 |- (Rel A -> (A (_ B -> A.y(<.x, y>. e. A -> <.x, y>. e. B)))
4	3	19.21adv 945	. 2 |- (Rel A -> (A (_ B -> A.xA.y(<.x, y>. e. A -> <.x, y>. e. B)))
5		df-rel 2425	. . . . . . . 8 |- (Rel A <-> A (_ (V X. V))
6		ssel 1502	. . . . . . . 8 |- (A (_ (V X. V) -> (z e. A -> z e. (V X. V)))
7	5, 6	sylbi 174	. . . . . . 7 |- (Rel A -> (z e. A -> z e. (V X. V)))
8		elvv 2464	. . . . . . 7 |- (z e. (V X. V) <-> E.xE.y z = <.x, y>.)
9	7, 8	syl6ib 185	. . . . . 6 |- (Rel A -> (z e. A -> E.xE.y z = <.x, y>.))
10		id 9	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((<.x, y>. e. A -> <.x, y>. e. B) -> (<.x, y>. e. A -> <.x, y>. e. B))
11	10	anim2d 433	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((<.x, y>. e. A -> <.x, y>. e. B) -> ((z = <.x, y>. /\ <.x, y>. e. A) -> (z = <.x, y>. /\ <.x, y>. e. B)))
12		eleq1 1149	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (z = <.x, y>. -> (z e. B <-> <.x, y>. e. B))
13	12	biimpar 325	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((z = <.x, y>. /\ <.x, y>. e. B) -> z e. B)
14	11, 13	syl6 23	. . . . . . . . . . . 12 |- ((<.x, y>. e. A -> <.x, y>. e. B) -> ((z = <.x, y>. /\ <.x, y>. e. A) -> z e. B))
15		eleq1 1149	. . . . . . . . . . . . 13 |- (z = <.x, y>. -> (z e. A <-> <.x, y>. e. A))
16	15	pm5.32i 489	. . . . . . . . . . . 12 |- ((z = <.x, y>. /\ z e. A) <-> (z = <.x, y>. /\ <.x, y>. e. A))
17	14, 16	syl5ib 181	. . . . . . . . . . 11 |- ((<.x, y>. e. A -> <.x, y>. e. B) -> ((z = <.x, y>. /\ z e. A) -> z e. B))
18	17	exp3a 292	. . . . . . . . . 10 |- ((<.x, y>. e. A -> <.x, y>. e. B) -> (z = <.x, y>. -> (z e. A -> z e. B)))
19	18	19.20i 691	. . . . . . . . 9 |- (A.y(<.x, y>. e. A -> <.x, y>. e. B) -> A.y(z = <.x, y>. -> (z e. A -> z e. B)))
20		19.23v 950	. . . . . . . . 9 |- (A.y(z = <.x, y>. -> (z e. A -> z e. B)) <-> (E.y z = <.x, y>. -> (z e. A -> z e. B)))
21	19, 20	sylib 173	. . . . . . . 8 |- (A.y(<.x, y>. e. A -> <.x, y>. e. B) -> (E.y z = <.x, y>. -> (z e. A -> z e. B)))
22	21	19.20i 691	. . . . . . 7 |- (A.xA.y(<.x, y>. e. A -> <.x, y>. e. B) -> A.x(E.y z = <.x, y>. -> (z e. A -> z e. B)))
23		19.23v 950	. . . . . . 7 |- (A.x(E.y z = <.x, y>. -> (z e. A -> z e. B)) <-> (E.xE.y z = <.x, y>. -> (z e. A -> z e. B)))
24	22, 23	sylib 173	. . . . . 6 |- (A.xA.y(<.x, y>. e. A -> <.x, y>. e. B) -> (E.xE.y z = <.x, y>. -> (z e. A -> z e. B)))
25	9, 24	syl9 55	. . . . 5 |- (Rel A -> (A.xA.y(<.x, y>. e. A -> <.x, y>. e. B) -> (z e. A -> (z e. A -> z e. B))))
26		pm2.43 57	. . . . 5 |- ((z e. A -> (z e. A -> z e. B)) -> (z e. A -> z e. B))
27	25, 26	syl6 23	. . . 4 |- (Rel A -> (A.xA.y(<.x, y>. e. A -> <.x, y>. e. B) -> (z e. A -> z e. B)))
28	27	19.21adv 945	. . 3 |- (Rel A -> (A.xA.y(<.x, y>. e. A -> <.x, y>. e. B) -> A.z(z e. A -> z e. B)))
29		dfss2 1497	. . 3 |- (A (_ B <-> A.z(z e. A -> z e. B))
30	28, 29	syl6ibr 186	. 2 |- (Rel A -> (A.xA.y(<.x, y>. e. A -> <.x, y>. e. B) -> A (_ B))
31	4, 30	impbid 397	1 |- (Rel A -> (A (_ B <-> A.xA.y(<.x, y>. e. A -> <.x, y>. e. B)))

Syntax hints:   -> wi 2   <-> wb 127   /\ wa 196  A.wal 672  E.wex 678   = wceq 1091   e. wcel 1092  Vcvv 1348   (_ wss 1487  <.cop 1810   X. cxp 2408  Rel wrel 2415

This theorem is referenced by:  relssi 2481  relssdv 2482  cleqrel 2483  intasym 2627

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-opab 2098  df-xp 2424  df-rel 2425

metamath.org