Theorem relssdr 2668

Description: A relation is included in the cross product of its domain and range. Exercise 4.12(t) of [Mendelson] p. 235.

Assertion

Ref	Expression
relssdr	|- (Rel A -> A (_ (dom A X. ran A))

Proof of Theorem relssdr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 9	. 2 |- (Rel A -> Rel A)
2		19.8a 712	. . . . 5 |- (<.x, y>. e. A -> E.y<.x, y>. e. A)
3		19.8a 712	. . . . 5 |- (<.x, y>. e. A -> E.x<.x, y>. e. A)
4	2, 3	jca 236	. . . 4 |- (<.x, y>. e. A -> (E.y<.x, y>. e. A /\ E.x<.x, y>. e. A))
5		visset 1350	. . . . . 6 |- y e. V
6	5	opelxp 2452	. . . . 5 |- (<.x, y>. e. (dom A X. ran A) <-> (x e. dom A /\ y e. ran A))
7		visset 1350	. . . . . . 7 |- x e. V
8	7	eldm2 2528	. . . . . 6 |- (x e. dom A <-> E.y<.x, y>. e. A)
9	5	elrn 2562	. . . . . 6 |- (y e. ran A <-> E.x<.x, y>. e. A)
10	8, 9	anbi12i 369	. . . . 5 |- ((x e. dom A /\ y e. ran A) <-> (E.y<.x, y>. e. A /\ E.x<.x, y>. e. A))
11	6, 10	bitr 151	. . . 4 |- (<.x, y>. e. (dom A X. ran A) <-> (E.y<.x, y>. e. A /\ E.x<.x, y>. e. A))
12	4, 11	sylibr 175	. . 3 |- (<.x, y>. e. A -> <.x, y>. e. (dom A X. ran A))
13	12	a1i 7	. 2 |- (Rel A -> (<.x, y>. e. A -> <.x, y>. e. (dom A X. ran A)))
14	1, 13	relssdv 2482	1 |- (Rel A -> A (_ (dom A X. ran A))

Syntax hints:   -> wi 2   /\ wa 196  E.wex 678   e. wcel 1092   (_ wss 1487  <.cop 1810   X. cxp 2408  dom cdm 2410  ran crn 2411  Rel wrel 2415

This theorem is referenced by:  cnvexg 2669  coexg 2671  resfunexg 2717  fnex 2740  fssxp 2761

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-br 2063  df-opab 2098  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-dm 2428  df-rn 2429

metamath.org