Theorem rnoprab 3033

Description: The range of an operation class abstraction.

Assertion

Ref	Expression
rnoprab	|- ran {<.<.x, y>., z>. | ph} = {z | E.xE.yph}

Distinct variable group(s):   x,y,z

Proof of Theorem rnoprab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfoprab2 3021	. . 3 |- {<.<.x, y>., z>. | ph} = {<.w, z>. | E.xE.y(w = <.x, y>. /\ ph)}
2	1	rneqi 2556	. 2 |- ran {<.<.x, y>., z>. | ph} = ran {<.w, z>. | E.xE.y(w = <.x, y>. /\ ph)}
3		rnopab 2566	. 2 |- ran {<.w, z>. | E.xE.y(w = <.x, y>. /\ ph)} = {z | E.wE.xE.y(w = <.x, y>. /\ ph)}
4		exrot3 777	. . . 4 |- (E.wE.xE.y(w = <.x, y>. /\ ph) <-> E.xE.yE.w(w = <.x, y>. /\ ph))
5		19.41v 963	. . . . . 6 |- (E.w(w = <.x, y>. /\ ph) <-> (E.w w = <.x, y>. /\ ph))
6		opex 1893	. . . . . . 7 |- <.x, y>. e. V
7	6	isseti 1352	. . . . . 6 |- E.w w = <.x, y>.
8	5, 7	mpbiran 547	. . . . 5 |- (E.w(w = <.x, y>. /\ ph) <-> ph)
9	8	bi2ex 734	. . . 4 |- (E.xE.yE.w(w = <.x, y>. /\ ph) <-> E.xE.yph)
10	4, 9	bitr 151	. . 3 |- (E.wE.xE.y(w = <.x, y>. /\ ph) <-> E.xE.yph)
11	10	biabi 1181	. 2 |- {z | E.wE.xE.y(w = <.x, y>. /\ ph)} = {z | E.xE.yph}
12	2, 3, 11	3eqtr 1123	1 |- ran {<.<.x, y>., z>. | ph} = {z | E.xE.yph}

Syntax hints:   /\ wa 196  E.wex 678  {cab 1090   = wceq 1091  <.cop 1810  {copab 2055  ran crn 2411  {copab2 3002

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-br 2063  df-opab 2098  df-cnv 2426  df-dm 2428  df-rn 2429  df-oprab 3004

metamath.org