Theorem ruclem33 4917

Description: Lemma for ruc 4924. The set of values of our constructed function G is a non-empty subset of RR. This is a helper lemma for theorems involving supremum.

Hypotheses

Ref	Expression
ruclem.0	|- F:NN-->RR
ruclem.1	|- C = ({<.1, <.((F` 1) + 1), ((F` 1) + 2)>.>.} u. (F |` (NN \ {1})))
ruclem.2	|- D = {<.<.x, y>., z>. | ((x e. (RR X. RR) /\ y e. RR) /\ z = if(((1st` x) < y /\ y < (2nd` x)), <.(((2 x. y) + (2nd` x)) / 3), ((y + (2 x. (2nd` x))) / 3)>., <.(((2 x. (1st` x)) + (2nd` x)) / 3), (((1st` x) + (2 x. (2nd` x))) / 3)>.))}
ruclem.3	|- G = (1st o. (DseqC))
ruclem.4	|- H = (2nd o. (DseqC))

Assertion

Ref	Expression
ruclem33	|- (ran G (_ RR /\ -. ran G = (/) /\ E.w e. RR A.v e. ran Gv <_ w)

Distinct variable group(s):   x,y,z,w,v   w,C,v   w,D,v   w,G,v   w,H,v   z,F,w,v

Proof of Theorem ruclem33

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ruclem.0	. . . 4 |- F:NN-->RR
2		ruclem.1	. . . 4 |- C = ({<.1, <.((F` 1) + 1), ((F` 1) + 2)>.>.} u. (F |` (NN \ {1})))
3		ruclem.2	. . . 4 |- D = {<.<.x, y>., z>. | ((x e. (RR X. RR) /\ y e. RR) /\ z = if(((1st` x) < y /\ y < (2nd` x)), <.(((2 x. y) + (2nd` x)) / 3), ((y + (2 x. (2nd` x))) / 3)>., <.(((2 x. (1st` x)) + (2nd` x)) / 3), (((1st` x) + (2 x. (2nd` x))) / 3)>.))}
4		ruclem.3	. . . 4 |- G = (1st o. (DseqC))
5		ruclem.4	. . . 4 |- H = (2nd o. (DseqC))
6	1, 2, 3, 4, 5	ruclem17 4901	. . 3 |- G:NN-->RR
7		frn 2757	. . 3 |- (G:NN-->RR -> ran G (_ RR)
8	6, 7	ax-mp 6	. 2 |- ran G (_ RR
9		ffn 2752	. . . . 5 |- (G:NN-->RR -> G Fn NN)
10	6, 9	ax-mp 6	. . . 4 |- G Fn NN
11		1nn 4432	. . . 4 |- 1 e. NN
12		fnfvrn 2889	. . . 4 |- ((G Fn NN /\ 1 e. NN) -> (G` 1) e. ran G)
13	10, 11, 12	mp2an 520	. . 3 |- (G` 1) e. ran G
14		n0i 1712	. . 3 |- ((G` 1) e. ran G -> -. ran G = (/))
15	13, 14	ax-mp 6	. 2 |- -. ran G = (/)
16	1, 2, 3, 4, 5, 11	ruclem23 4907	. . 3 |- (H` 1) e. RR
17		fvelrn 2883	. . . . . 6 |- (G Fn NN -> (v e. ran G <-> E.w e. NN (G` w) = v))
18	10, 17	ax-mp 6	. . . . 5 |- (v e. ran G <-> E.w e. NN (G` w) = v)
19		breq1 2065	. . . . . . . 8 |- ((G` w) = v -> ((G` w) <_ (H` 1) <-> v <_ (H` 1)))
20		ltlet 4286	. . . . . . . . 9 |- (((G` w) e. RR /\ (H` 1) e. RR) -> ((G` w) < (H` 1) -> (G` w) <_ (H` 1)))
21		fveq2 2832	. . . . . . . . . . . 12 |- (w = if(w e. NN, w, 1) -> (G` w) = (G` if(w e. NN, w, 1)))
22	21	eleq1d 1155	. . . . . . . . . . 11 |- (w = if(w e. NN, w, 1) -> ((G` w) e. RR <-> (G` if(w e. NN, w, 1)) e. RR))
23	11	elimel 1793	. . . . . . . . . . . 12 |- if(w e. NN, w, 1) e. NN
24	1, 2, 3, 4, 5, 23	ruclem22 4906	. . . . . . . . . . 11 |- (G` if(w e. NN, w, 1)) e. RR
25	22, 24	dedth 1784	. . . . . . . . . 10 |- (w e. NN -> (G` w) e. RR)
26	25, 16	jctir 241	. . . . . . . . 9 |- (w e. NN -> ((G` w) e. RR /\ (H` 1) e. RR))
27	21	breq1d 2071	. . . . . . . . . 10 |- (w = if(w e. NN, w, 1) -> ((G` w) < (H` 1) <-> (G` if(w e. NN, w, 1)) < (H` 1)))
28	1, 2, 3, 4, 5, 23, 11	ruclem32 4916	. . . . . . . . . 10 |- (G` if(w e. NN, w, 1)) < (H` 1)
29	27, 28	dedth 1784	. . . . . . . . 9 |- (w e. NN -> (G` w) < (H` 1))
30	20, 26, 29	sylc 62	. . . . . . . 8 |- (w e. NN -> (G` w) <_ (H` 1))
31	19, 30	syl5bi 183	. . . . . . 7 |- ((G` w) = v -> (w e. NN -> v <_ (H` 1)))
32	31	com12 13	. . . . . 6 |- (w e. NN -> ((G` w) = v -> v <_ (H` 1)))
33	32	r19.23aiv 1284	. . . . 5 |- (E.w e. NN (G` w) = v -> v <_ (H` 1))
34	18, 33	sylbi 174	. . . 4 |- (v e. ran G -> v <_ (H` 1))
35	34	rgen 1247	. . 3 |- A.v e. ran Gv <_ (H` 1)
36		breq2 2066	. . . . 5 |- (w = (H` 1) -> (v <_ w <-> v <_ (H` 1)))
37	36	biraldv 1219	. . . 4 |- (w = (H` 1) -> (A.v e. ran Gv <_ w <-> A.v e. ran Gv <_ (H` 1)))
38	37	rcla4ev 1403	. . 3 |- (((H` 1) e. RR /\ A.v e. ran Gv <_ (H` 1)) -> E.w e. RR A.v e. ran Gv <_ w)
39	16, 35, 38	mp2an 520	. 2 |- E.w e. RR A.v e. ran Gv <_ w
40	8, 15, 39	3pm3.2i 603	1 |- (ran G (_ RR /\ -. ran G = (/) /\ E.w e. RR A.v e. ran Gv <_ w)

Syntax hints:  -. wn 1   <-> wb 127   /\ wa 196   /\ w3a 581   = wceq 1091   e. wcel 1092  A.wral 1201  E.wrex 1202   \ cdif 1484   u. cun 1485   (_ wss 1487  (/)c0 1707  ifcif 1776  {csn 1808  <.cop 1810   class class class wbr 2054   X. cxp 2408  ran crn 2411   |` cres 2412   o. ccom 2414   Fn wfn 2417  -->wf 2418  ` cfv 2422  (class class class)co 3001  {copab2 3002  1stc1st 3085  2ndc2nd 3086  RRcr 4027  1c1 4029   + caddc 4031   x. cmulc 4032   < clt 4033   / cdiv 4091   <_ cle 4092  NNcn 4093  2c2 4454  3c3 4455  seqcseq 4660

This theorem is referenced by:  ruclem34 4918  ruclem35 4919

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1st 3087  df-2nd 3088  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216  df-le 4277  df-n 4423  df-2 4462  df-3 4463  df-n0 4535  df-z 4564  df-seq 4661

metamath.org