Theorem ruclem39 4923

Description: Lemma for ruc 4924. There is no function that maps NN onto RR.

Assertion

Ref	Expression
ruclem39	|- -. F:NN-onto->RR

Proof of Theorem ruclem39

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fof 2788	. . 3 |- (F:NN-onto->RR -> F:NN-->RR)
2		foeq1 2784	. . . . 5 |- (F = if(F:NN-->RR, F, (NN X. {0})) -> (F:NN-onto->RR <-> if(F:NN-->RR, F, (NN X. {0})):NN-onto->RR))
3	2	negbid 463	. . . 4 |- (F = if(F:NN-->RR, F, (NN X. {0})) -> (-. F:NN-onto->RR <-> -. if(F:NN-->RR, F, (NN X. {0})):NN-onto->RR))
4		feq1 2748	. . . . . 6 |- (F = if(F:NN-->RR, F, (NN X. {0})) -> (F:NN-->RR <-> if(F:NN-->RR, F, (NN X. {0})):NN-->RR))
5		feq1 2748	. . . . . 6 |- ((NN X. {0}) = if(F:NN-->RR, F, (NN X. {0})) -> ((NN X. {0}):NN-->RR <-> if(F:NN-->RR, F, (NN X. {0})):NN-->RR))
6		ax0re 4063	. . . . . . . . 9 |- 0 e. RR
7	6	elisseti 1355	. . . . . . . 8 |- 0 e. V
8	7	fconst 2774	. . . . . . 7 |- (NN X. {0}):NN-->{0}
9		snssi 1851	. . . . . . . 8 |- (0 e. RR -> {0} (_ RR)
10	6, 9	ax-mp 6	. . . . . . 7 |- {0} (_ RR
11		fss 2759	. . . . . . 7 |- (((NN X. {0}):NN-->{0} /\ {0} (_ RR) -> (NN X. {0}):NN-->RR)
12	8, 10, 11	mp2an 520	. . . . . 6 |- (NN X. {0}):NN-->RR
13	4, 5, 12	elimhyp 1790	. . . . 5 |- if(F:NN-->RR, F, (NN X. {0})):NN-->RR
14	13	ruclem38 4922	. . . 4 |- -. if(F:NN-->RR, F, (NN X. {0})):NN-onto->RR
15	3, 14	dedth 1784	. . 3 |- (F:NN-->RR -> -. F:NN-onto->RR)
16	1, 15	syl 12	. 2 |- (F:NN-onto->RR -> -. F:NN-onto->RR)
17		pm2.01 80	. 2 |- ((F:NN-onto->RR -> -. F:NN-onto->RR) -> -. F:NN-onto->RR)
18	16, 17	ax-mp 6	1 |- -. F:NN-onto->RR

Syntax hints:  -. wn 1   -> wi 2   = wceq 1091   e. wcel 1092   (_ wss 1487  ifcif 1776  {csn 1808   X. cxp 2408  -->wf 2418  -onto->wfo 2420  RRcr 4027  0cc0 4028  NNcn 4093

This theorem is referenced by:  ruc 4924

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-sup 2154  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1st 3087  df-2nd 3088  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216  df-le 4277  df-n 4423  df-2 4462  df-3 4463  df-n0 4535  df-z 4564  df-seq 4661

metamath.org