Theorem ruclem6 4890

Description: Lemma for ruc 4924. Helper lemma showing the input function used for our sequence builder (defined in ruclem13 4897) matches our input mapping F for successor values.

Hypotheses

Ref	Expression
ruclem5.0	|- F:NN-->RR
ruclem5.1	|- C = ({<.1, <.((F` 1) + 1), ((F` 1) + 2)>.>.} u. (F |` (NN \ {1})))

Assertion

Ref	Expression
ruclem6	|- (C |` (NN \ {1})) = (F |` (NN \ {1}))

Proof of Theorem ruclem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ruclem5.1	. . 3 |- C = ({<.1, <.((F` 1) + 1), ((F` 1) + 2)>.>.} u. (F |` (NN \ {1})))
2		reseq1 2575	. . 3 |- (C = ({<.1, <.((F` 1) + 1), ((F` 1) + 2)>.>.} u. (F |` (NN \ {1}))) -> (C |` (NN \ {1})) = (({<.1, <.((F` 1) + 1), ((F` 1) + 2)>.>.} u. (F |` (NN \ {1}))) |` (NN \ {1})))
3	1, 2	ax-mp 6	. 2 |- (C |` (NN \ {1})) = (({<.1, <.((F` 1) + 1), ((F` 1) + 2)>.>.} u. (F |` (NN \ {1}))) |` (NN \ {1}))
4		resundir 2583	. 2 |- (({<.1, <.((F` 1) + 1), ((F` 1) + 2)>.>.} u. (F |` (NN \ {1}))) |` (NN \ {1})) = (({<.1, <.((F` 1) + 1), ((F` 1) + 2)>.>.} |` (NN \ {1})) u. ((F |` (NN \ {1})) |` (NN \ {1})))
5		difdisj 1758	. . . . 5 |- ({1} i^i (NN \ {1})) = (/)
6		1nn 4432	. . . . . . . . 9 |- 1 e. NN
7	6	elisseti 1355	. . . . . . . 8 |- 1 e. V
8		opex 1893	. . . . . . . 8 |- <.((F` 1) + 1), ((F` 1) + 2)>. e. V
9	7, 8	f1osn 2827	. . . . . . 7 |- {<.1, <.((F` 1) + 1), ((F` 1) + 2)>.>.}:{1}-1-1-onto->{<.((F` 1) + 1), ((F` 1) + 2)>.}
10		f1ofn 2801	. . . . . . 7 |- ({<.1, <.((F` 1) + 1), ((F` 1) + 2)>.>.}:{1}-1-1-onto->{<.((F` 1) + 1), ((F` 1) + 2)>.} -> {<.1, <.((F` 1) + 1), ((F` 1) + 2)>.>.} Fn {1})
11	9, 10	ax-mp 6	. . . . . 6 |- {<.1, <.((F` 1) + 1), ((F` 1) + 2)>.>.} Fn {1}
12		fnresdisj 2732	. . . . . 6 |- ({<.1, <.((F` 1) + 1), ((F` 1) + 2)>.>.} Fn {1} -> (({1} i^i (NN \ {1})) = (/) <-> ({<.1, <.((F` 1) + 1), ((F` 1) + 2)>.>.} |` (NN \ {1})) = (/)))
13	11, 12	ax-mp 6	. . . . 5 |- (({1} i^i (NN \ {1})) = (/) <-> ({<.1, <.((F` 1) + 1), ((F` 1) + 2)>.>.} |` (NN \ {1})) = (/))
14	5, 13	mpbi 164	. . . 4 |- ({<.1, <.((F` 1) + 1), ((F` 1) + 2)>.>.} |` (NN \ {1})) = (/)
15		residm 2594	. . . 4 |- ((F |` (NN \ {1})) |` (NN \ {1})) = (F |` (NN \ {1}))
16	14, 15	uneq12i 1609	. . 3 |- (({<.1, <.((F` 1) + 1), ((F` 1) + 2)>.>.} |` (NN \ {1})) u. ((F |` (NN \ {1})) |` (NN \ {1}))) = ((/) u. (F |` (NN \ {1})))
17		uncom 1604	. . 3 |- ((/) u. (F |` (NN \ {1}))) = ((F |` (NN \ {1})) u. (/))
18		un0 1721	. . 3 |- ((F |` (NN \ {1})) u. (/)) = (F |` (NN \ {1}))
19	16, 17, 18	3eqtr 1123	. 2 |- (({<.1, <.((F` 1) + 1), ((F` 1) + 2)>.>.} |` (NN \ {1})) u. ((F |` (NN \ {1})) |` (NN \ {1}))) = (F |` (NN \ {1}))
20	3, 4, 19	3eqtr 1123	1 |- (C |` (NN \ {1})) = (F |` (NN \ {1}))

Syntax hints:   <-> wb 127   = wceq 1091   \ cdif 1484   u. cun 1485   i^i cin 1486  (/)c0 1707  {csn 1808  <.cop 1810   |` cres 2412   Fn wfn 2417  -->wf 2418  -1-1-onto->wf1o 2421  ` cfv 2422  (class class class)co 3001  RRcr 4027  1c1 4029   + caddc 4031  NNcn 4093  2c2 4454

This theorem is referenced by:  ruclem8 4892  ruclem13 4897

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-enr 3960  df-nr 3961  df-0r 3965  df-1r 3966  df-c 4034  df-1 4036  df-r 4038  df-n 4423

metamath.org