Theorem sbthcl 3361

Description: Schroeder-Bernstein Theorem in class form.

Assertion

Ref	Expression
sbthcl	|- ~~ = ( ~<_ i^i `' ~<_ )

Proof of Theorem sbthcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relen 3277	. 2 |- Rel ~~
2		reldom 3278	. . 3 |- Rel ~<_
3		relin 2491	. . 3 |- (Rel ~<_ -> Rel ( ~<_ i^i `' ~<_ ))
4	2, 3	ax-mp 6	. 2 |- Rel ( ~<_ i^i `' ~<_ )
5		visset 1350	. . . 4 |- y e. V
6		sbthbg 3360	. . . 4 |- (y e. V -> ((x ~<_ y /\ y ~<_ x) <-> x ~~ y))
7	5, 6	ax-mp 6	. . 3 |- ((x ~<_ y /\ y ~<_ x) <-> x ~~ y)
8		df-br 2063	. . . . 5 |- (x ~<_ y <-> <.x, y>. e. ~<_ )
9		df-br 2063	. . . . . 6 |- (y ~<_ x <-> <.y, x>. e. ~<_ )
10		visset 1350	. . . . . . 7 |- x e. V
11	10, 5	opelcnv 2518	. . . . . 6 |- (<.x, y>. e. `' ~<_ <-> <.y, x>. e. ~<_ )
12	9, 11	bitr4 154	. . . . 5 |- (y ~<_ x <-> <.x, y>. e. `' ~<_ )
13	8, 12	anbi12i 369	. . . 4 |- ((x ~<_ y /\ y ~<_ x) <-> (<.x, y>. e. ~<_ /\ <.x, y>. e. `' ~<_ ))
14		elin 1635	. . . 4 |- (<.x, y>. e. ( ~<_ i^i `' ~<_ ) <-> (<.x, y>. e. ~<_ /\ <.x, y>. e. `' ~<_ ))
15	13, 14	bitr4 154	. . 3 |- ((x ~<_ y /\ y ~<_ x) <-> <.x, y>. e. ( ~<_ i^i `' ~<_ ))
16		df-br 2063	. . 3 |- (x ~~ y <-> <.x, y>. e. ~~ )
17	7, 15, 16	3bitr3r 157	. 2 |- (<.x, y>. e. ~~ <-> <.x, y>. e. ( ~<_ i^i `' ~<_ ))
18	1, 4, 17	cleqreli 2484	1 |- ~~ = ( ~<_ i^i `' ~<_ )

Syntax hints:   <-> wb 127   /\ wa 196   = wceq 1091   e. wcel 1092  Vcvv 1348   i^i cin 1486  <.cop 1810   class class class wbr 2054  `'ccnv 2409  Rel wrel 2415   ~~ cen 3271   ~<_ cdom 3272

This theorem is referenced by:  dfsdom2 3362

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-er 3200  df-en 3274  df-dom 3275

metamath.org