Theorem sdomel 3653

Description: Strict dominance implies ordinal membership.

Assertion

Ref	Expression
sdomel	|- ((A e. On /\ B e. On) -> (A ~< B -> A e. B))

Proof of Theorem sdomel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssdomg 3311	. . . . 5 |- (B e. On -> (B (_ A -> B ~<_ A))
2	1	adantr 306	. . . 4 |- ((B e. On /\ A e. On) -> (B (_ A -> B ~<_ A))
3		ontri1 2232	. . . 4 |- ((B e. On /\ A e. On) -> (B (_ A <-> -. A e. B))
4		domtri 3644	. . . 4 |- ((B e. On /\ A e. On) -> (B ~<_ A <-> -. A ~< B))
5	2, 3, 4	3imtr3d 420	. . 3 |- ((B e. On /\ A e. On) -> (-. A e. B -> -. A ~< B))
6	5	a3d 70	. 2 |- ((B e. On /\ A e. On) -> (A ~< B -> A e. B))
7	6	ancoms 334	1 |- ((A e. On /\ B e. On) -> (A ~< B -> A e. B))

Syntax hints:  -. wn 1   -> wi 2   /\ wa 196   e. wcel 1092   (_ wss 1487   class class class wbr 2054  Oncon0 2199   ~<_ cdom 3272   ~< csdm 3273

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-ac 1080

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-suc 2205  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-er 3200  df-en 3274  df-dom 3275  df-sdom 3276  df-card 3623

metamath.org