Theorem sdomex 3315

Description: Technical lemma for simplifying proofs involving strict dominance.

Assertion

Ref	Expression
sdomex	|- (A ~< B -> (A e. V /\ B e. V))

Proof of Theorem sdomex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relsdom 3279	. . 3 |- Rel ~<
2	1	brrelexi 2447	. 2 |- (A ~< B -> A e. V)
3		sdomirr 3314	. . . 4 |- -. A ~< A
4		brprc 2097	. . . 4 |- (-. B e. V -> (A ~< B <-> A ~< A))
5	3, 4	mtbiri 539	. . 3 |- (-. B e. V -> -. A ~< B)
6	5	a3i 69	. 2 |- (A ~< B -> B e. V)
7	2, 6	jca 236	1 |- (A ~< B -> (A e. V /\ B e. V))

Syntax hints:  -. wn 1   -> wi 2   /\ wa 196   e. wcel 1092  Vcvv 1348   class class class wbr 2054   ~< csdm 3273

This theorem is referenced by:  sdomtr 3373  isfinite2 3437  unfi2 3442  unxpdom 3650  sucxpdom 3652  sdomsdomcard 3654  cdafi 3730

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-en 3274  df-dom 3275  df-sdom 3276

metamath.org