Theorem sdomsdomcard 3654

Description: A set strictly dominates iff its cardinal strictly dominates.

Assertion

Ref	Expression
sdomsdomcard	|- (A ~< B <-> A ~< (card` B))

Proof of Theorem sdomsdomcard

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sdomex 3315	. . 3 |- (A ~< B -> (A e. V /\ B e. V))
2	1	pm3.27d 262	. 2 |- (A ~< B -> B e. V)
3		sdom0 3369	. . . 4 |- -. A ~< (/)
4		fvprc 2829	. . . . 5 |- (-. B e. V -> (card` B) = (/))
5	4	breq2d 2072	. . . 4 |- (-. B e. V -> (A ~< (card` B) <-> A ~< (/)))
6	3, 5	mtbiri 539	. . 3 |- (-. B e. V -> -. A ~< (card` B))
7	6	a3i 69	. 2 |- (A ~< (card` B) -> B e. V)
8		fvex 2838	. . . . . . 7 |- (card` B) e. V
9		sdomentr 3371	. . . . . . 7 |- ((card` B) e. V -> ((A ~< B /\ B ~~ (card` B)) -> A ~< (card` B)))
10	8, 9	ax-mp 6	. . . . . 6 |- ((A ~< B /\ B ~~ (card` B)) -> A ~< (card` B))
11	10	exp 291	. . . . 5 |- (A ~< B -> (B ~~ (card` B) -> A ~< (card` B)))
12		cardid 3635	. . . . . 6 |- (card` B) ~~ B
13		ensymg 3316	. . . . . 6 |- (B e. V -> ((card` B) ~~ B -> B ~~ (card` B)))
14	12, 13	mpi 44	. . . . 5 |- (B e. V -> B ~~ (card` B))
15	11, 14	syl5 22	. . . 4 |- (A ~< B -> (B e. V -> A ~< (card` B)))
16	15	com12 13	. . 3 |- (B e. V -> (A ~< B -> A ~< (card` B)))
17		sdomentr 3371	. . . 4 |- (B e. V -> ((A ~< (card` B) /\ (card` B) ~~ B) -> A ~< B))
18	12, 17	mpan2i 522	. . 3 |- (B e. V -> (A ~< (card` B) -> A ~< B))
19	16, 18	impbid 397	. 2 |- (B e. V -> (A ~< B <-> A ~< (card` B)))
20	2, 7, 19	pm5.21nii 504	1 |- (A ~< B <-> A ~< (card` B))

Syntax hints:  -. wn 1   -> wi 2   <-> wb 127   /\ wa 196   e. wcel 1092  Vcvv 1348  (/)c0 1707   class class class wbr 2054  ` cfv 2422   ~~ cen 3271   ~< csdm 3273  cardccrd 3620

This theorem is referenced by:  cardsdomel 3658

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-ac 1080

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-suc 2205  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-er 3200  df-en 3274  df-dom 3275  df-sdom 3276  df-card 3623

metamath.org