Theorem shaddclt 5123

Description: Closure of vector addition in a subspace of a Hilbert space.

Assertion

Ref	Expression
shaddclt	|- (H e. SH -> ((A e. H /\ B e. H) -> (A +v B) e. H))

Proof of Theorem shaddclt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sh 5116	. . 3 |- (H e. SH <-> ((H (_ H~ /\ 0v e. H) /\ (A.x e. H A.y e. H (x +v y) e. H /\ A.x e. CC A.y e. H (x .s y) e. H)))
2	1	pm3.27bd 263	. 2 |- (H e. SH -> (A.x e. H A.y e. H (x +v y) e. H /\ A.x e. CC A.y e. H (x .s y) e. H))
3		pm3.26 256	. 2 |- ((A.x e. H A.y e. H (x +v y) e. H /\ A.x e. CC A.y e. H (x .s y) e. H) -> A.x e. H A.y e. H (x +v y) e. H)
4		opreq1 3006	. . . 4 |- (x = A -> (x +v y) = (A +v y))
5	4	eleq1d 1155	. . 3 |- (x = A -> ((x +v y) e. H <-> (A +v y) e. H))
6		opreq2 3007	. . . 4 |- (y = B -> (A +v y) = (A +v B))
7	6	eleq1d 1155	. . 3 |- (y = B -> ((A +v y) e. H <-> (A +v B) e. H))
8	5, 7	rcla42v 1404	. 2 |- (A.x e. H A.y e. H (x +v y) e. H -> ((A e. H /\ B e. H) -> (A +v B) e. H))
9	2, 3, 8	3syl 21	1 |- (H e. SH -> ((A e. H /\ B e. H) -> (A +v B) e. H))

Syntax hints:   -> wi 2   /\ wa 196   = wceq 1091   e. wcel 1092  A.wral 1201   (_ wss 1487  (class class class)co 3001  CCcc 4026  H~chil 4958   +v cva 4959   .s csm 4960  0vc0v 4961  SHcsh 4967

This theorem is referenced by:  shsubclt 5125  projlem18 5210  pjthlem12 5236  shscl 5282  shintcl 5294  shslej 5339  shsidm 5358  spanun 5450  spanunsn 5482  pjadd 5566

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077  ax-hilex 4983

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-xp 2424  df-cnv 2426  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fv 2438  df-opr 3003  df-sh 5114

metamath.org